La estructura de grupo de la unidad de círculo en $\mathbb{F}_q[\sqrt{-1}]$

Question

Considere la posibilidad de $\mathbb{F}_q[\sqrt{-1}]$ donde $q = p^n$ donde $p$ es un número primo, $p \equiv 3 \pmod 4$. A continuación, considere el círculo unidad $\{a \vert a \overline{a} = 1\}$ donde $\overline{a}$ indica la conjugación, es decir,$a + b\sqrt{-1} \to a - b\sqrt{-1}$. A continuación, hay una estructura de grupo, como si $a \overline{a} = b \overline{b} =1$, $ab \overline{ab} =1$ y hay inversas y una identidad.

Me gustaría entender la estructura de este grupo. Basado en la evidencia numérica, creo que siempre ha $q+1$ elementos y es cíclico.

Podemos reformular el problema como la búsqueda de soluciones a$a^2 + b^2 = 1$$\mathbb{F}_q$, pero no creo que esto es útil. Sin embargo, es fácil mostrar el uso de Jacobi sumas que no se $p+1$ soluciones sobre $\mathbb{F}_p = \mathbb{Z} / p \mathbb{Z}$, pero esto no da mucho y no veo la manera de generalizar a primer poderes.

EDIT: por Lo que es cíclico, porque se trata de un subgrupo de $F_{q^2}$.

Answer 1

Lo que dices es correcto cuando $n$ es impar, equivocado al $n$ es incluso. Echemos un vistazo a la agradable caso primero.

Al $n$ es impar, $q=p^n\equiv3\pmod4$, e $k=\Bbb F_q$ no tiene raíz cuadrada de $-1$. Entonces está bien para escribir expresiones formales $a+b\sqrt{-1}$ como usted: usted está considerando elementos de $K=\Bbb F_{q^2}$, y pidiendo $a^2+b^2=1$, que está pidiendo el núcleo de la norma, $\mathbf N^K_k(w)=ww^q$. Es un homomorphism entre la multiplicación de los grupos de los campos, y su núcleo es el conjunto de $(q+1)$-th raíces de la unidad en la $K$, $q+1$ de ellos.

Lo malo del caso es que el $n$ es aún, y estás en la misma situación en cuanto a $p\equiv1\pmod4$, con un $i$ ya en $\Bbb F_q$, ya que el $q=p^{2m}\equiv1\pmod4$. Aquí, la curva de $x^2+y^2=(x+iy)(x-iy)=1$ puede ser recoordinatized con $X=x+iy$, $Y=x-iy$, dando la nueva ecuación de $XY=1$, en otras palabras $Y=1/X$. Claramente $X$ puede tomar cualquier valor distinto de cero valor en $k=\Bbb F_q$, y la elección de este valor determina el $Y$. Así que hay $q-1$ soluciones.

Para un ejemplo, ver el $\Bbb F_9=\Bbb F_3[i]$. Aquí, las soluciones de $x^2+y^2=1$$(0,\pm1)$, para dos soluciones, $(\pm1,0)$, para los dos, y $(\pm i,\pm i)$ para cuatro, ocho en total.