Encontrar $\lim_{x \to 0}(e^x-1)(\frac{1}{x} - \left \lfloor{{\frac{1}{x}}}\right \rfloor)$

Question

Encontrar $\lim_{x \to 0}(e^x-1)(\frac{1}{x} - \left \lfloor{{\frac{1}{x}}}\right \rfloor)$

Yo estaba pensando en usar el Teorema del Sandwich y hacer algo como esto: $$(e^x-1) < (e^x-1)(\frac{1}{x} - \left \lfloor{{\frac{1}{x}}}\right \rfloor) < (e^x-1)\cdot \frac{1}{x}$$ (esto parece cierto, porque la $x \to 0$)
y entonces puedo decir que el límite de la izquierda es $0$ y el límite del lado derecho es $0$ (porque me $=0$ al $x \to 0^+$ e al $x \to 0^-$)...
Por lo tanto, obtener el límite de la expresión original es igual a $0$. Pero creo que esto no es correcto... ¿alguien me Puede decir ¿cuál es la manera correcta de resolver usando el Teorema del Sandwich (o algo aún más simple, sin el uso de L'hospital de la regla)?

Answer 1

Observar que $0\leq z-\lfloor z\rfloor <1 $, de modo que

$\vert (e^x-1)(\frac{1}{x} - \left \lfloor{{\frac{1}{x}}}\right \rfloor)\vert \leq e^x-1\Rightarrow \lim_{x \to 0}(e^x-1)(\frac{1}{x} - \left \lfloor{{\frac{1}{x}}}\right \rfloor)=0$