Determinar la función de distribución de esta función de densidad de

Question

Dado que es la función de densidad de

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\pi}\frac{1}{1+x^2}\text{ if }x\geq 0\\ \frac{1}{2}e^x \;\;\;\;\text{ else} \end{de la matriz}\right. \;\;\;\;$

Determinar la (acumulado) función de distribución de esta densidad la función.

No estoy muy seguro de cómo hacer esto correctamente, pero necesito saber porque lo necesito para otra cosa que quería calcular :p

Si he entendido correctamente, puede determinar la función de distribución tomando la integral de la función de densidad.

Así que tenemos que $$F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t) dt$$

Ahora necesitamos cubrir todos los casos:

$x < 0$: $$F(x) = \int_{-\infty}^{0}\frac{1}{2}e^t dt = \left[\frac{1}{2}e^t\right]_{-\infty}^{0}=\frac{1}{2}-(0)=\frac{1}{2}$$

$x \geq 0$: $$F(x)=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\pi} \cdot \frac{1}{1+t^2}dt = \left[\frac{1}{\pi} \cdot \arctan(t)\right]_{0}^{\infty}=\left(\frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2}\right)- \left(\frac{1}{\pi} \cdot 0\right)=\frac{1}{2}$$

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Es realmente correcto así? Porque si está mal mi siguiente cálculo será malo también! :(

Answer 1

Como se escribe: $$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt.$$ Así que si $x < 0$ tienes que $$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^x\frac{1}{2}e^tdt=\frac12 e^x$$ Si $x \ge 0$ tienes que $$F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^0\frac{1}{2}e^tdt+\int_0^x\frac1\pi\frac{1}{1+t^2}dt=\frac12 + \frac{1}{\pi}\arctan(x).$$ Así

$$F(x)=\begin{cases} \frac12e^x & \mbox{if }x < 0 \\ \frac12+\frac1\pi \arctan (x) & \mbox{if } x \ge0 \end{casos}$$

Answer 2

Para $x<0:$$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)du=\int_{-\infty}^{x}\dfrac{1}{2}e^udu=\dfrac{1}{2}e^x$$and for $x>0$$$F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)du=\int_{-\infty}^{0}f(u)du+\int_{0}^{x}f(u)du=\dfrac{1}{2}+\int_{0}^{x}\dfrac{1}{\pi}\dfrac{1}{1+u^2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\pi}\tan^{-1}(x)$$