Matriz de invertability aclaración y comprensión

Question

Estoy tratando de configurar algunos de los "modelos mentales" de cómo pensar acerca de la matriz de invertability. Actualmente estoy estudiando álgebra lineal en un nivel básico y quisiera que algunas de las explicaciones a la pregunta siguiente, información general sobre la matriz de invertability relacionados a esta pregunta también es muy apreciado!

Así que si tenemos una matriz de $A = \left( \begin{matrix} row_1 \\ row_2 \\ row_3 \end{matrix}\right )$

Estamos tratando de encontrar la matriz de $A^{-1}$ para llegar a la matriz $I$.

Cuando tratando de encontrar a $I$ tenemos cuatro casos donde invertability se rompe:

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1) por Lo que si el $row_1$ de la matriz a es todo ceros, entonces es obvio que no podemos encontrar una matriz $A^{-1}$ que satisface la siguiente relación: $\left( \begin{matrix} row_1 \\ row_2 \\ row_3 \end{matrix}\right ) A^{-1} \neq I$, ya que será imposible para producir la primera columna de $I$ mediante la multiplicación de la matriz.

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2) lo mismo es cierto si $col_1$ $A$ es todo ceros: $A^{-1} \left( \begin{matrix} col_1 & col_2 & col_3 \end{matrix}\right ) \neq I$, ya que será imposible para producir la primera columna de $I$ mediante la multiplicación de la matriz.

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3) Ahora lo que tienen un tiempo más difícil de explicar para mí es que si tenemos a $row_1$ $A$ a todos los ceros de: $A^{-1} \left( \begin{matrix} row_1 \\ row_2 \\ row_3 \end{matrix}\right ) \neq I$ ya que va a ser ...??

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4) yo también la falta de una explicación clara para el caso de que $col_1$ $A$ es todo ceros:

$\left( \begin{matrix} col_1 & col_2 & col_3 \end{matrix}\right ) A^{-1} \neq I$ ya que va a ser ...??

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Gracias por su tiempo y ayuda!

Answer 1

Hay mucho más que una matriz no invertible de tener un cero de la fila o de la columna. En orden para algunos matriz $B$ existir a fin de que $BA=I$, cada fila de $I$ (y por lo tanto cada fila posible) debe ser realizable como una combinación lineal de las filas de $A$. Esta claro que no será el caso si $A$ contiene un cero de la columna, ya que cualquier combinación lineal de las filas tendrá un cero en esa posición. Pero más en general no puede ser el caso si hay alguna que no sea cero (columna) de vectores $v$ en el núcleo de $A$, que es con $Av=0$, ya que cualquier combinación lineal $C$ de las filas de $A$ tienen $Cv=0$ como bueno, mientras que no existe, ciertamente, una fila $R$ $I$ $Rv\neq0$ (sólo se toma en un índice en $v$ tiene un valor distinto de cero coeficiente). El caso de un cero en la columna de $A$ es sólo uno, donde $v$ puede ser tomado como un vector en el estándar de base, pero en realidad no es tanto especial acerca de estos vectores.

Ahora si $A$ tiene un cero de la fila, los restantes dos filas sólo abarcan una $2$-dimensiones subespacio$~W$ de la $3$-dimensiones del espacio de todas las posibles filas, por lo que no está obligado a ser algunos de vectores $v$ $Rv=0$ para todas las filas $R\in W$; sólo que, al contrario del caso de un cero de la columna, la información proporcionada no es suficiente para dar una explícita tal$~v$ (uno tendría que saber que los restantes dos filas de$~A$).

En general, se puede demostrar que, para matrices cuadradas$~A$, que la existencia de un no-cero de la columna de$~v$ $Av$es equivalente a la existencia de un no-cero de la fila $r$ $rA=0$ (porque fila rango es igual a la columna de rango), pero a pesar de que uno o la otra condición es obviamente satisfecho cuando hay un cero de la fila o columna, esto está lejos de ser el único caso donde el equivalente condiciones que se cumplen (y donde, por tanto, $A$ no es invertible).