Evaluar el límite $ \lim_ {x \to\infty }(x^2- \sqrt {x^4 + 7x^2 + 1})$

Question

El problema es evaluar

$$ \lim_ {x \to\infty }(x^2- \sqrt {x^4 + 7x^2 + 1})$$

Entiendo todos los cálculos involucrados, pero tengo problemas para averiguar cómo empezar con el álgebra. He intentado factorizar y usar conjugados, pero la única respuesta que puedo obtener es $-7$ lo cual es incorrecto. Cualquier ayuda sería apreciada.

Lo que he hecho hasta ahora:

$$ \frac {(x^2- \sqrt {x^4+7x^2+1})(x^2+ \sqrt {x^4+7x^2+1})}{ x^2+ \sqrt {x^4+7x^2+1}}$$

resulta en

$$ \frac {-7x^2-1}{x^2+ \sqrt {x^4+7x^2+1}}$$

factorizar el $x^4$ bajo el radical, luego dividir el numerador y el denominador por $x^2$ para conseguir

$$ \frac {-7-1/x^2}{1 + \sqrt {1+7/x^2+1/x^4}}$$

En este punto el límite cuando x se aproxima al infinito sería -7/2 o -3,5.

Answer 1

Deje que $y = \sqrt {x^4+7x^2+1}$ y $L= \lim (x^2-y)$ . A lo largo de esta respuesta $ \lim $ significa $ \lim_ {x \rightarrow \infty }$ .

Primero trabajaré en la simplificación $y$ de la siguiente manera. Podemos tomar un $x^2$ fuera de la raíz cuadrada, de modo que $y= x^2 \sqrt {1+7/x^2 + 1/x^4}$ . Podemos expandir el lado derecho hacia afuera usando la expansión del binomio $ \sqrt {1+ \epsilon } = 1 + \epsilon /2 + H( \epsilon )$ donde $H$ representa los términos de orden superior en la expansión. Por lo tanto, $y = x^2(1+ \frac {7}{2x^2} + \frac {1}{2x^4} + H(x))$ . Tenga en cuenta que $H(x)$ contiene grandes poderes negativos de $x$ desde $x^{-4}$ hacia adelante.

Ahora podemos encontrar $L$ . Sabemos que

\begin {ecuación} L = \lim (x^2 - y) \\ = \lim x^2 - x^2(1+) \frac {7}{2x^2} + \frac {1}{2x^4} + H(x)) \\ = \lim x^2 - (x^2 + \frac {7}{2} + \frac {1}{2x^2} + H(x)x^2) \\ = \lim 0 - 7/2 - H(x)x^2 \end {ecuación}

donde $H(x)x^2$ contiene sólo poderes negativos de $x$ . Como tal, el límite se evalúa a $L = -7/2$ .

Esto es muy similar a lo que has hecho, excepto que simplifiqué el álgebra y barrí todos los términos no deseados en $H$ . La respuesta coincide con la tuya.