¿Cómo demostró Beltrami la consistencia de la geometría hiperbólica en sus trabajos de 1868?

Question

Esto es en respuesta a los comentarios y a la respuesta del usuario studiosus a esta pregunta :

En cuanto a la obra de Beltrami: La consistencia de una geometría desde el punto de vista (post) Hilbert no tiene nada que ver con la existencia de una incrustación (isométrica) en un espacio particular. Por ejemplo, para que exista una variedad riemanniana exista, basta con definirla a través de un atlas de cartas junto con un tensor métrico riemanniano. Lo que hizo Beltrami fue incrustar isométricamente un subconjunto abierto propio del plano hiperbólico en $R^3$ . Dado que una adecuada subconjunto abierto de $H^2$ viola los axiomas de la geometría hiperbólica (no es homogénea), la existencia de tal incrustación no demuestra la consistencia de la geometría hiperbólica.

Tengo conmigo la traducción de Stillwell de los artículos de Beltrami y según entiendo, Beltrami en su primer artículo utiliza la geometría diferencial para mostrar que la superficie de la pseudoesfera admite la geometría hiperbólica bidimensional descrita sintéticamente por Lobachevsky, en su segundo artículo generaliza el resultado del primer artículo a otras dimensiones. Beltrami no hace afirmaciones sobre la consistencia (y especialmente no que la geometría hiperbólica fuera "tan consistente" como la geometría euclidiana, ya que esta última era incuestionable en la época) pero muchos autores afirman que al mostrar que una superficie en el espacio euclidiano admite una parte del plano hiperbólico, Beltrami muestra la consistencia de la geometría hiperbólica. Por ejemplo:

En el primero de los dos trabajos publicados ese año, Beltrami señaló que la trigonometría de las geodésicas de la pseudoesfera [...] era idéntica a la trigonometría del plano hiperbólico. En consecuencia, cualquier autocontradicción que pudiera surgir en la geometría hiperbólica hiperbólica constituiría necesariamente una autocontradicción de la geometría euclidiana. En otras palabras, Beltrami demostró que la la geometría hiperbólica era tan consistente como la geometría euclidiana.

$-$ Saul Stahl, El semiplano de Poincaré: Una puerta a la geometría moderna

He visto a muchos otros autores hacer afirmaciones similares. ¿Es esta una interpretación incorrecta? ¿Puede alguien aclararlo?

Answer 1

Modelos de Beltrami

Modelos de geometría no euclidiana de Beltrami por Nicola Arcozzi puede ser de interés. No parte de la pseudoesfera en el sentido de la tractriz, que es una superficie finita de curvatura negativa constante incrustada en el espacio euclidiano tridimensional. En su lugar, describe modelos planares, uno de los cuales Arcozzi denomina modelo proyectivo, pero que yo conozco como modelo de Beltrami-Klein.

Citando a Arcozzi:

Beltrami llama psedudospheres las superficies parametrizadas bijetivamente por las coordenadas $(u,v)$ y dotado de la métrica (1) (a continuación, utilizaremos idifferentemente [sic] psedosfera , plano hiperbólico , plano no euclidiano )

Así pues, aunque Beltrami empezó a describir el tractricoide (y otras superficies de revolución con curvatura negativa constante, creo), aquí parece que utiliza el término en un sentido diferente, y mantener estos dos significados separados es importante.

Así que lo que hizo Beltrami fue idear un modelo: una forma de traducir los términos de los axiomas en representaciones geométricas. En concreto, un punto hiperbólico se modelará por un punto dentro de un disco dado (u otra cónica, al menos en la versión de Klein), y una línea hiperbólica se modelará por un segmento de ese disco. También redefine la métrica, en particular define las longitudes (esta es la ecuación (1) a la que se refiere la cita anterior). A continuación demuestra que este modelo tiene todas las propiedades de la geometría hiperbólica.

Así que si su geometría euclidiana es consistente, entonces su modelo funciona, por tanto tiene las propiedades que demuestra que debe tener, por tanto la geometría hiperbólica es consistente. O formulado al revés, si hubiera un problema con la geometría hiperbólica, entonces habría alguna configuración problemática en este modelo, y puesto que dedujo que la geometría euclidiana adecuada no puede causar ningún problema de este tipo, esto implicaría que tampoco puede haber una geometría euclidiana adecuada, es decir, consistente.

Greenberg

Greenberg's Geometrías euclidianas y no euclidianas afirma que

Beltrami demostró la consistencia relativa de la geometría hiperbólica en 1868 utilizando la geometría diferencial (véase La pseudoesfera, capítulo 10).

Al principio leí que esto apoyaba tu afirmación de que Beltrami sí utilizó el tractricoide directamente para demostrar esa consistencia. Pero leyendo ese capítulo 10, ya no estoy tan seguro. Comienza mencionando que el plano hiperbólico no puede ser incrustado isométricamente, pero sí una porción de él.

Así que adivinar que Beltrami podría haber reconocido que puede llevar la métrica del tractricoide a una porción del plano, y luego extenderla a todo el disco de la manera consistente expresada por esa ecuación (1) en el texto de Arcozzi. Así que la tractricoide serviría como herramienta para demostrar que la métrica que eligió es sana y se relaciona con la curvatura negativa constante, pero el plano hiperbólico utilizado para la prueba de consistencia va más allá de la tractricoide.

Arcozzi de nuevo

Sin embargo, leer más de Arcozzi sugiere una interpretación diferente:

Por otra parte, parece preocuparle que la superficie con la métrica (1) no pueda considerarse totalmente "real", ya que no está claro en qué relación se encuentra con respecto al espacio euclidiano tres (la medida más estricta de la "realidad"). A continuación, demostrará que, tras cortar trozos de ella, la pseudoesfera puede plegarse isométricamente sobre una superficie "real" de curvatura constante en el espacio euclidiano.

Sin embargo, leyendo aún más, se encuentra la sección 3.3 donde Arcozzi especula sobre cómo Beltrami podría haber pensado en su geometría. La imagen que allí se presenta (al menos tal y como yo la entiendo) es más la de una superficie curvada en 3D, bastante parecida a la tractriz, que la de una superficie plana dotada de algún extraño cálculo métrico artificial. Sin embargo, debido a las diferencias en cómo se hacían las cosas en ese momento, la auto-intersección aparentemente era poco preocupante, y lo mismo para el hecho de que sólo una porción limitada era representable de esta manera. Sobre todo después de que Beltrami hubiera demostrado la posibilidad de los movimientos isométricos.

El propio Beltrami

Descremada Beltrami's Ensayo de interpretación de la geometría no euclidiana yo mismo, reconozco esa ecuación para el elemento de distancia del modelo Beltrami-Klein. Efectivamente, en su obra también aparece numerada (1). A primera vista no veo ninguna referencia a la pseudoesfera, sólo referencias a la curvatura negativa constante. No hablo italiano, pero esto es lo que dice sobre las pseudoesferas (esto es de un versión diferente que carece de ilustraciones, pero que se ha tipografiado en $\TeX$ ):

Para evitar confusiones, le permitimos que nos llame pseudosferiche la superficie de curvatura negativa constante, y para mantener el nombre raggio alla costante $R$ del que depende el valor de su curvatura.

Por la traducción de Stillwell:

Para evitar circunloquios, llamamos a la superficie de curvatura negativa constante pseudoesférico y mantenemos el término radio para la constante $R$ del que depende su curvatura.

Esto, en mi opinión, apoya la opinión de Arcozzi sobre el uso de este término.

Answer 2

Hay al menos cuatro artículos relevantes de Beltrami. En el primero (Ann. Mat. Pura App.I (1865), nº 7, 185-204) calcula todas las métricas riemannianas bidimensionales para las que existe un sistema de coordenadas en el que todas las geodésicas se representan como líneas rectas: descubre que sólo las superficies de curvatura constante tienen esta propiedad. Tengo pocas dudas de que en este momento tuviera la expresión para la métrica no euclidiana, tal como aparece en el disco "modelo de Klein". En 1867 había escrito "Delle variabili complesse sopra una superficie qualunque", en el que demuestra que todas las superficies tienen una estructura compleja (todas son localmente conformes al plano euclidiano). Muchos cálculos y gráficos de coordenadas que encontramos en los artículos sobre geometría no euclidiana, probablemente deben mucho a este trabajo. Luego vino "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea", donde el modelo de Klein se introduce al principio de ese artículo, como ecuación (1). En la Nota II de ese artículo, Beltrami muestra que el disco es homogéneo e isótropo con respecto a la métrica; ya ha demostrado que hay exactamente una geodésica que conecta dos puntos distintos; es obvio que una geodésica divide el disco en dos partes. Estas propiedades son suficientes, para nosotros, para identificar el modelo de Beltrami con la geometría no euclidiana. También le bastaban a él, aunque carecía del lenguaje de la lógica matemática moderna, en el que se puede afirmar con precisión. Queda la posibilidad residual de que alguna propiedad geométrica que sea cierta en el modelo, no sea decidible en la geometría no euclidiana (un problema de completitud). Además, Beltrami demuestra en su modelo una serie de teoremas de la geometría no euclidiana, con el fin de convencer al lector de que, si los axiomas se cumplen, sus consecuencias también lo hacen. Por supuesto, desde nuestro punto de vista, el problema de la completitud afectaría a la geometría euclidiana en igual medida, y no habría necesidad de mencionar que, dados los axiomas, los teoremas se siguen sea cual sea el modelo. Pero en la década de 1860 era difícil encontrar palabras y conceptos para expresar esto.

En mi opinión, Beltrami no estaba completamente satisfecho en esta etapa por tener sólo un objeto analítico con una interpretación geométrica no del todo segura. Por eso identifica localmente su modelo de disco con una superficie en el espacio euclidiano tridimensional. Lo hace (y sabemos que no se puede hacer de otra manera) de tres maneras diferentes, obteniendo tres superficies diferentes (localmente isométricas) en el espacio tridimensional. Una de ellas es el tractoide. Pero era totalmente consciente de que las superficies sólo codificaban información local, y no eran suficientes para proporcionar un modelo para los axiomas globales de la geometría no euclidiana (para los que tenía, de hecho, un modelo analítico muy convincente).

Finalmente, en 1868, en "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante", Beltrami, después de haber leído el ensayo de habilitación de Riemann, en el que el punto de vista sobre la geometría se invierte (la distinción entre "puramente analítica" y "geométrica" se borra totalmente), Beltrami introduce varios modelos diferentes, en todas las dimensiones. Es fácil adivinar que algunos de estos modelos ya los tenía sobre su mesa, y que los publicó ahora, porque se sintió respaldado filosóficamente por el ensayo de Riemann.

Answer 3

Tengo entendido que Beltrami también originó el modelo de medio plano superior del plano hiperbólico, probablemente en el mismo documento con un modelo de medio espacio superior para $\mathbb H^3$ y así sucesivamente. El medio plano superior es muy convincente para mí, se obtienen parametrizaciones fáciles para las geodésicas, ya sea $(A, e^t)$ o $(A + B \tanh t, B \operatorname{sech} t)$ para $B > 0.$ Esto da una forma aceptablemente fácil de encontrar la distancia entre dos puntos. Los círculos son círculos geodésicos, aunque el centro geodésico no está exactamente donde se espera. De todos modos, http://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_half-plane_model No lo he hecho, pero se podría encontrar una parametrización de la longitud de arco de un círculo mediante el mapeo al disco de Poincare (tomar el centro original como $i,$ asignar eso a $0,$ utilizar el seno y el coseno, y luego volver a mapear).

Aquí vamos, una parametrización de velocidad constante, pero no unitaria, de un círculo geodésico en el semiplano superior de $\mathbb C,$ con centro geodésico $i,$ es $$ \frac{2 B \cos t + i (1 - B^2)}{1 - 2 B \sin t + B^2}, $$ con $0 < B < 1. $ Hay un diámetro a lo largo del eje imaginario, el centro es $i,$ mientras que los dos extremos de ese diámetro son $$ i \, \left( \frac{1+B}{1-B} \right) $$ y $$ i \, \left( \frac{1-B}{1+B} \right), $$ con las partes imaginarias evidentemente recíprocas.

Conocer la circunferencia real nos daría una constante con la que ajustar la variable $t$ Utilizo lo anterior, para obtener la velocidad de la unidad. Con radio geodésico $ r =\log (1+B) - \log (1-B)$ y la circunferencia $2 \pi \sinh r,$ Obtengo la circunferencia $$ \left( \frac{4 \pi B}{1-B^2} \right) $$