Éste debe ser el punto de partida para una nueva política de Israel.

Question

Mientras que haciendo un poco de trabajo que he venido a través de los problemas eran la solución consiste en cambiar el $\sum$ punto de partida desde el que permite decir $n=1$ $n=0$y en este proceso me He dado cuenta de que le agrega una constante o así, y yo no recuerdo haber visto esto en clase, y no estoy muy seguro de por qué se hace.

Este es un ejemplo $$\sum_{n=1}^{\infty}(\sin1)^n$$ Entonces va y se vuelve a escribir en términos de $n=0$ y hace lo siguiente $$\sin(1)\sum_{n=0}^{\infty}\sin(1)$$ Y que todavía uso el valor extra en la serie geométrica de instalación $$\frac{\sin1}{1-\sin1}$$ No estoy seguro de si mi pregunta es muy clara, pero me gustaría saber el valor adicional de la $\sin1$ es añadido en la segunda $\sum$, mientras que sólo cambia el punto de partida de $n=1 \to n=0$

Answer 1

Cuando usted está empezando a lidiar con sumatorias puede ser más fácil ver lo que está pasando aquí, haciendo una verdadera sustitución de la variable de índice. Para evitar el desorden visual voy a dejar de $a=\sin 1$. Supongamos que yo deje $k=n-1$; a continuación,$n=k+1$, y tenemos

$$\sum_{n=1}^\infty a^n=\sum_{k+1=1}^\infty a^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty a^{k+1}\;,$$

ya que como $k+1$ ejecuta a través de todos los enteros positivos, $k$ claramente se ejecuta sobre todos los enteros no negativos. Claramente $a^{k+1}=a\cdot a^k$, por lo que

$$\sum_{k=0}^\infty a^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty\left(a\cdot a^k\right)=a\sum_{k=0}^\infty a^k\;,$$

donde el último paso se justifica por el hecho de que siempre podemos sacar de una suma un factor que no depende de la variable de índice (es decir, que realmente es el mismo en cada periodo).

Ahora solo tienes que aplicar la fórmula para la suma de una serie geométrica a $\sum_{k=0}^\infty a^k$ para obtener

$$a\sum_{k=0}^\infty a^k=a\cdot\frac1{1-a}=\frac{a}{1-a}\;.$$

Poner las piezas juntas, hemos

$$\sum_{n=1}^\infty a^n=\frac{a}{1-a}\;.$$

En efecto, el cálculo completo es simplemente darse cuenta de que

$$\begin{align*} a+a^2+a^3+a^4+\ldots&=a\cdot1+a\cdot a+a\cdot a^2+a\cdot a^3+\ldots\\ &=a\left(1+a+a^2+a^3+\ldots\right)\\ &=a\cdot\frac1{1-a}\\ &=\frac{a}{1-a}\;. \end{align*}$$

Tenga en cuenta que al principio, después de que he establecido

$$\sum_{n=1}^\infty a^n=\sum_{k=0}^\infty a^{k+1}\;,$$

Yo podría haber cambiado el nombre de la variable de índice de vuelta a $n$ y un simple escrito

$$\sum_{n=1}^\infty a^n=\sum_{n=0}^\infty a^{n+1}\;.$$

Con la práctica se puede hacer este tipo de cambio de forma automática, sin necesidad de ir a través de la sustitución y cambio de nombre.

Answer 2

Cuando se cambia el punto de partida de $$\sum_{n=1}^\infty (\sin 1)^n$ $

a 0, la suma sería

$$\sum_{n=0}^\infty (\sin 1)^{n+1}$$

que puede escribirse como

$$\sum_{n=0}^\infty (\sin 1)^{n} (\sin 1)^1$$

Answer 3

\begin{align} \sum_{n=1}^\infty r^n & = r + r^2 + r^3 + r^4 + \cdots \\[10pt] \sum_{n=0}^\infty r^{n+1} & = r + r^2 + r^3 + r^4 + \cdots \end{align} Pensar sobre el sentido de la $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty$ e de $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty$ y ver si se le dice que las dos expresiones que involucran $\displaystyle\sum$ sobre el rendimiento de las expresiones que ves a la derecha de la "equivale a" signos anteriores y tenga en cuenta que estas dos expresiones son idénticas.