Problemas de valores iniciales: Métodos de Euler, Taylor y Runge-kutta.

Question

Teniendo un poco de dificultad con esta pregunta:

Convertir el valor inicial del problema,

$$\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}+2y=x+1$$ where $$y(0)=2,\ \frac{dy}{dx}(0)=-1,$$

en un conjunto de dos acoplados de primer orden el problema del valor inicial.

En primer lugar os vamos a $$\frac{dy}{dx}=z$$ darme la ecuación:

$$\frac{dz}{dx}=z-2y+x+1$$ where $$y(0)=2,\ z(0)=-1,\ x(0)=0$$

El uso de una longitud de paso h = 0.1 para encontrar aproximaciones numéricas de y en x = 0.2 el uso de generalizaciones a dos ecuaciones acopladas de los siguientes numéricos esquemas:

1. Trapezoidal método mediante el método de Euler explícito como un predictor y una iteración del corrector.

para que este método realmente estoy muy confundida y no sabe por dónde empezar, así que cualquier ayuda sería genial.

2. el tercer orden de Runge-Kutta de segundo esquema: $$k_1 = hf (x_n, y_n)\\ k_2=hf(x_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2})\\ k_3=hf(x_n+h,y_n-k_1+2k_2)\\ y_{n+1}=y_n+\frac{1}{6}(k_1+4k_2+k_3)$$

para este método estoy un poco confundido no sé por dónde empezar porque de los 3 diferentes variables z,y,x traté de comenzar por hacer $$k_1=hz_0$$ and then $$l_1=hf(x_0,y_0)$$ pero me resultó difícil porque de las 3 variables, cualquier ayuda es muy apreciada gracias.

Answer 1

1. Trapezoidal con el método de Euler como predictor y un corrector de paso puede ser implementado como una etapa 3-método de Runge-Kutta para el vector $u=(y,z)$ $$\begin{align} k_1 &= hf(x,u)\\ k_2 &= hf(x+h,u+k_1)\\ k_3 &= hf(x+h,u+0.5(k_1+k_2))\\ u_+ &= u+0.5(k_1+k_3) \end{align}$$

   Supongo que la descripción es distinguir el método de la explícita trapezoidal método y comparar los de 2º orden 3-etapa de método 3 de 3 etapas el método del segundo punto.

2. Sí, dependiendo de la notación puede expandir el escalar método el método vector de esa manera. $$\begin{align} k_{1y} &= hz \\ k_{1z} &= hf(x,y,z) \\ k_{2y} &= h(z+0.5k_{1z}) \\ k_{2z} &= hf(x+0.5h, y+0.5k_{1y}, z+0.5k_{1z}) \end{align}$$ etc.

Sólo hay 2 componentes de esta ecuación diferencial, la variable independiente $x$ tiene explícitamente las actualizaciones disponibles.