Necesito ayuda en esto.

Question

Estoy realmente confundido con las definiciones de coordinar los anillos y el campo de funciones racionales. Estoy tratando de entender esto una prueba de que estaba pegado en el principio:

Primero no entendía la definición de $J_f$. tenemos $\overline G=G+I(V)$ $f=f_1+I(V)$ donde $f_1$ es el residuo de $f$$\Gamma(V)$. El $\overline Gf=\bigg(g+I(V)\bigg)\bigg(f_1+I(V)\bigg)=\bigg(gf_1+I(V)\bigg)$, por lo que esta multiplicación no es siempre en $\Gamma(V)$, ya que el $\Gamma(V)$ es, por definición,$k[x_1,...,x_n]/I(V)$?

En segundo lugar yo no entendía por qué los puntos de $V(I_f)$ son exactamente aquellos puntos donde $f$ no está definido.

Yo realmente necesita ayuda para entender esta prueba.

Gracias de antemano.

Answer 1

Su primera pregunta no es exactamente el agua. Por supuesto, no todos los $G\in k[x_1,\ldots,x_n]$$J_f$. El producto es siempre en el campo de fracción de $k[V]$, y es en realidad, en $k[V]$ a veces. Ese conjunto de cosas que en realidad tierras en $k[V]$$J_f$.

La razón de que el polo es el ajuste a cero de este ideal es que $f$ es el cociente de dos elementos de la $k[V]$ con el denominador distinto de cero, precisamente cuando existe un elemento de a $J_f$ (el denominador de la representación) que no se desvanecen en ese punto. Así, se ve que el complemento de $Z(J_f)$ es en los puntos donde la $f$ está definido.

EDIT: El de abajo sólo se aplica para el caso de curvas--que es lo que yo pensaba que el único foco de Fulton fue [sé el título, no he leído el libro]. Por lo tanto, mantener esto en mente.

También, como un FYI, esta es una extraña manera de definir los polos (al menos en mi experiencia). Generalmente los polos de una función racional en un no-singular de la curva son los puntos de $p$ donde tiene valoración negativa, en la canónica de valoración de $\mathcal{O}_p$. No sé si esto es algo Fulton habla, pero tiene más sentido para mí, y tal vez para ustedes.