Comprender el comportamiento de las estadísticas de orden de las muestras de una distribución uniforme

Question

Deje $P$ denotar cualquier distribución continua con densidad de $p$ $[0,1]$ $Q$ la distribución uniforme en $[0,1]$, cuya densidad es $1$.

Deje $X_1,\ldots,X_n$ $n$ i.yo.d muestras extraídas a partir de la distribución de $Q$ $X_{(1)},\ldots,X_{(n)}$ ser sus estadísticas de orden y deje $Y$ ser una variable aleatoria distribuida acccording a $P$. Definir los pesos como: $$ w_i=\frac{p(X_ {i)})}{p(X_ {i)})}= p(X_ {i)}), 1 \leq i \leq n $$ y $$ \tilde{w}_i = \mathbb{P}(Y \in [X_{(i)},X_ {i+1)}))= F_{P}(X_ {i+1)})-F_P(X_ {i)}). $$

Estoy tratando de entender si existe alguna noción de similitud o de convergencia entre las variables aleatorias $w_i$$\tilde{w}_i$$n \to \infty$.

Cualquier ayuda hacia este sería apreciada.

La razón por la que me encontré con esto es debido a la observación de que, si yo uso un Núcleo Gaussiano estimador de Densidad con pesas $w_i$ $\tilde{w}_i$ respectivamente, en tanto los pesos son capaz de ajustar el pdf $p(x)$ perfectamente a través de una gama de distribuciones $P$$Q$. Quiero saber si esto es una manifestación de algunos hechos subyacentes acerca de la anteriormente definida pesos. Estoy adjuntando las parcelas para la integridad:

Answer 1

En resumen, los dos pesos de secuencias de definir son asintóticamente equivalentes en la probabilidad. Pongo un croquis de la prueba, véase a continuación.

Pero me gustaría recomendar a tener una mirada más cercana en el Capítulo 7 de [David H. A., Nagaraja H. N. Fin de Estadísticas (2003)]. Creo que los temas que se discutieron hay bastante cercana a la actual.

La proposición. $\forall\rho>0\;\;\mathbb{P}(|w_i-\tilde{w}_i|>\rho)\to 0, \;n \to \infty$.

Prueba.

a) Un hecho básico de la orden de estadísticas es que el $X_{(i)}$ converge en probabilidad a$\frac{(i-1)/n\;+\; i/n}{2}$$n\to\infty$.

b) Si denotamos $\delta_{i+1}=X_{(i+1)}-X_{(i)}$, entonces es posible conseguir la $\delta_{i+1}=\textit{o}(1/n)$ y

$$ F_{P}(X_ {i+1)}) = F_P(X_ {i)}) + p(X_ {i)})\cdot\delta_{i+1} + \textit{o}(1/n^2) $$ el uso de la aproximación de Taylor; la notación aquí es $p(\bullet)\equiv F^{\prime}_P(\bullet)$.

c) Finalmente,

$\mathbb{P}(|w_i-\tilde{w}_i|>\rho) = \mathbb{P}(|p(X_ {i)}) - \left(F_{P}(X_ {i+1)}) - F_P(X_ {i)})\right) |>\rho) = \mathbb{P}(|p(X_ {i)})\cdot\left(1-\delta_{i+1} \right) + \textit{o}(1/n^2)|>\rho). $

(Hemos usado b) y, a continuación, a).) Como podemos ver, el lado izquierdo de la desigualdad es de orden $\textit{o}(1/n)$ (en probabilidad, ver un)). Por lo tanto, podemos elegir (suficientemente grande) $n^\ast$ positivos $\rho$, lo que significa que la probabilidad de que el evento $\left\{\ldots >\rho\right\}$ tiende a cero. Esto concluye la prueba.