Utilizando la definición de la derivada probar que si $f(x)=x^\frac{4}{3}$ $f'(x)=\frac{4x^\frac{1}{3}}{3}$

Question

Así que tengo que $f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ y sabemos que la aplicación de

$f(x)=x^\frac{4}{3}=f\frac{(x+h)^\frac{4}{3} -x^\frac{4}{3}}{h}$

pero estoy en una pérdida cuando tratando de ampliar $(x+h)^\frac{4}{3}$

Answer 1

Esto es un poco no es divertido, pero le dará a su álgebra de un buen entrenamiento. Primera nota de que $$(x+h)^{4/3} x^{4/3}=\left((x+h)^{2/3}+x^{2/3}\right)\left((x+h)^{2/3} x^{2/3}\right) .\la etiqueta{1}$$ y el lado derecho de (1) puede ser escrita como $$\left((x+h)^{2/3}+x^{2/3}\right)\left((x+h)^{1/3}+x^{1/3}\right)\left((x+h)^{1/3} x^{1/3}\right) .\la etiqueta{2}$$ Hemos usado la identidad de $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ un par de veces.

Así que queremos encontrar $$\lim_{h\to 0}\frac{\left((x+h)^{2/3}+x^{2/3}\right)\left((x+h)^{1/3}+x^{1/3}\right)\left((x+h)^{1/3}-x^{1/3}\right)}{h}.\tag{3}$$

Los primeros dos términos en el numerador de (3) se comportan muy bien como $h\to 0$. Necesitamos que preocuparse sólo $$\frac{(x+h)^{1/3}-x^1/3}{h}.\tag{4}$$ Ahora vamos a utilizar la identidad de $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$. Dejando $a=(x+h)^{1/3}$ $b=x^{1/3}$ se multiplica la parte superior e inferior de (4) por $a^2+ab+b^2$. Tenemos $$\frac{(x+h)-x}{h\left((x+h)^{2/3}+(x+h)^{1/3}x^{1/3}+x^{2/3}\right)}.$$

Ahora todo está bajo control, usted puede poner las piezas juntas.

Nota: Hay muchas otras maneras de hacer el álgebra. Por ejemplo, en lugar de la inicial de factoring que hicimos, que inmediatamente se podía multiplicar parte superior e inferior por $$(x+h)^{8/3}+(x+h)^{4/3}x^{4/3}+x^{8/3}.$$ Luego en la parte superior nos encontramos con $(x+h)^4-x^4$. Podemos ampliar esta como de costumbre, y obtener un simple aspecto de ruta para la respuesta.

Answer 2

Puede utilizar la binomial generalizada coeficients para resolver este problema, que le da

$(x + h)^\frac{4}{3} = x^\frac{4}{3}(1 + \frac{4h}{3x} + \frac{4h^2}{18x^2} + \ldots)$

Seguirá por siempre, pero ya que se divide por $h$, la mayoría tiende a cero, y te quedará $x^\frac{4}{3} \frac{4}{3x} = \frac{4}{3}x^\frac{1}{3}$.

Answer 3

Vamos

$$D = \frac{(x+h)^{4/3}-x^{4/3}}{h}$$

Entonces

$$\begin{align}D^3 &= \frac{(x+h)^4-3 (x+h)^{8/3} x^{4/3} + 3 (x+h)^{4/3} x^{8/3} - x^4}{h^3}\\ &= \frac{4 x^3 h + 6 x^2 h^2 + 4 x h^3 + h^4 -3 (x+h)^{4/3} x^{4/3} \left [ (x+h)^{4/3}-x^{4/3}\right ]}{h^3}\\ &= \frac{4 x^3 + 6 x^2 h + 4 x h^2 +h^3}{h^2} - \frac{3 (x+h)^{4/3} x^{4/3}}{h^2} D\end{align}$$

Por lo tanto,

$$h^2 D^3 + 3 (x+h)^{4/3} x^{4/3} D = 4 x^3 + 6 x^2 h + 4 x h^2 +h^3$$

Tomando el límite cuando $h \to 0$, (y suponiendo que $\bar{D}=\lim_{h \to 0} D$ sigue siendo finito como lo hacemos), vemos que

$$3 x^{8/3} \bar{D} = 4 x^3$$

o $\bar{D} = (4/3) x^{1/3}$ como fue demostrado.

Answer 4

Sugerencia:

La expansión de la $(x+h)^\frac{4}{3}$ es

$$h\sqrt[3]{x+h} + x\sqrt[3]{x+h}$$

Así, entonces usted tendrá

$$\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{h\sqrt[3]{x+h} + x\sqrt[3]{x+h} - x^{\frac{4}{3}}}{h}$$

Se puede tomar desde allí?