Problema para encontrar los ceros de un polinomio complejo

Question

Estoy tratando de resolver este problema $$ z^2 + (\sqrt{3} + i)|z| \bar{z}^2 = 0 $$

Así que, sé $ |z^2| = |z|^2 = a^2 + b ^2 $ y $ \operatorname{Arg}(z^2) = 2 \operatorname{Arg} (z) - 2k \pi = 2 \arctan (\frac{b}{a} ) - 2 k\pi $ para un $ k \in \mathbb{Z} $ . En cuanto al otro término, sé $ |(\sqrt{3} + i)|z| \bar{z}^2 | = |z|^3 |\sqrt{3} + i| = 2 |z|^3 = 2(a^2 + b^2)^{3/2} $ y por el teorema de Moivre, tengo $ \operatorname{Arg} [(\sqrt{3} + i ) |z|\bar{z}^2] = \frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{Arg} (z) - 2Q\pi $ .

Con todo esto puedo reescribir la ecuación de la siguiente manera

$$\begin{align*} &|z|^2 \Bigl[ \cos (2 \operatorname{Arg} (z) - 2k \pi) + i \sin (2 \operatorname{Arg}(z) - 2k \pi)\Bigr]\\ &\qquad \mathop{+} 2|z|^3 \Biggl[\cos \left(\frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{Arg} (z) -2Q\pi\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{Arg} (z) -2Q\pi\right)\Biggr] = 0 \end{align*} $$

Lo cual, suponiendo que $ z \neq 0 $ puede simplificarse como $$\begin{align*} &\cos (2 \operatorname{Arg} (z) - 2k \pi) + i \sin (2 \operatorname{Arg} (z) - 2k \pi) \\ &\qquad\mathop{+} 2 |z|\Biggl[\cos \left(\frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{Arg} (z) -2Q \pi \right) + i \sin \left(\frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{Arg} (z) -2Q\pi\right)\Biggr] = 0 \end{align*} $$

Ahora, a partir de esto no estoy seguro de cómo continuar. Intenté algunas cosas que no me llevaron a ninguna parte como tratar de resolver $$ \cos (2 \operatorname{Arg}(z) - 2k \pi) = 2 |z| \cos \left(\frac{\pi}{6} + 2 \operatorname{Arg} (z) -2Q\pi\right) $$

Estoy muy perdido aquí, no sé cómo seguir y he buscado errores pero no los encuentro. Cualquier ayuda se agradecería mucho.

Answer 1

He aquí una alternativa para resolverlo utilizando la forma polar. Sea $z=a+bi$ para que $\bar{z}=a-bi$ y $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ . Entonces quiere resolver $$(a+bi)^2+(\sqrt{3}+i)\sqrt{a^2+b^2}(a-bi)^2=0,$$ que se amplía a $$(a^2-b^2)+2abi+(\sqrt{3}+i)\sqrt{a^2+b^2}\left((a^2-b^2)-2abi\right)=0$$ Por lo tanto, necesitamos que tanto la parte real como la parte imaginaria del lado izquierdo sean 0, es decir $$(a^2-b^2)+\sqrt{a^2+b^2}\left(\sqrt{3}\cdot (a^2-b^2)+2ab\right)=0$$ y $$2ab+\sqrt{a^2+b^2}\left(-2ab\sqrt{3}+(a^2-b^2)\right)=0.$$ Debería ser posible resolver estas ecuaciones mediante simples manipulaciones, aunque todavía no lo he resuelto.

Answer 2

La relación es equivalente a $z^2=-(\sqrt{3}+i)|z|\overline{z}^2$ . $z=0$ es una solución, por lo que en la siguiente $z \neq 0$ . Tome el módulo de ambos lados y denote $r=|z|=|\overline{z}|$ . Entonces $r^2=2r^3$ , lo que significa que $r=\frac{1}{2}$ .

Las relaciones se dirigen a $z^2+\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)\overline{z}^2=0$ . Multiplicar por $z^2$ y obtener $z^4+\frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)\frac{1}{16}=0$ . Escríbelo en forma trigonométrica $$ z^4=\frac{1}{16}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}-i\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}(\cos \frac{7\pi}{6}+\sin \frac{7\pi}{6})$$ .

A partir de aquí es sólo el extracción de raíces complejas .

[editar] No he respondido a tu pregunta, en cuanto a cómo continuar tus cálculos, pero puedo decir por experiencia que en la mayoría de los problemas de números complejos la sustitución $z=a+bi$ te mete en más problemas al final, que trabajar con las propiedades del conjugado complejo, el módulo y la forma trigonométrica. Puedes ver que en mi solución no se encontraron grandes problemas computacionales.