Convergencia uniforme de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-x)x^n$

Question

Quiero estudiar la convergencia uniforme de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-x)x^n \rm{~~for}~~ x$$[0, 1]$. Este es mi intento:

Primer estudio de la convergencia en $[0, 1)$: mediante la prueba de razón de la suma es convergente cuando $|x|< 1$. Por lo tanto, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(1-x)x^n$$[0, 1)$. Cuando $x = 1$, $f_n(x) = 0$ y la suma de la serie es convergente. Por lo tanto, la suma de los funcionales de la serie es convergente en $[0, 1]$.

Es mi razonamiento correcto, y si es así puede ser considerado como una rigurosa prueba? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: $(1-x)x^n=x^n-x^{n+1}$. Sólo el uso de las sumas parciales, entonces todo se vuelve simple como estas son las sumas parciales de la serie geométrica.

Answer 2

Se demostró pointwise convergencia, no convergencia uniforme. Para el estudio de la cuestión de la convergencia uniforme, es más conveniente para empezar a $n=0$ (esto no afecta a la respuesta). A continuación, sus sumas parciales tiene una forma cerrada $\frac{(1-x)(1-x^{n+1})}{1-x}=1-x^{n+1}$, y la cuestión se reduce a la cuestión de la convergencia uniforme de esta secuencia de funciones. Pero $x^{n+1}$ no es uniformemente convergente en la unidad de intervalo. Por lo tanto la secuencia ¿ no convergen uniformemente.

Answer 3

A pesar de que es una exageración, pero voy a mencionar como enfoque alternativo :

Dini del Teorema : Si $f_n$ es una secuencia de verdaderos valores de la función de la convergencia de pointwise a un continuo límite de la función f en un conjunto compacto $S$ e si $f_n(x) \ge f_{n+1}(x)$ por cada $x\in S$, y para cada una de las $n=1,2,3..$ $f_n \to f $ uniformemente .

En su conjunto de problemas $f_n=\sum_{1}^{n} (1-x)x^n=x-x^{n+1}$ . $ \lim f_n(x)=0$ para todos los $x\in [0,1]$ ,un conjunto compacto . Por lo tanto, por dini del teorema $f_n\to f$ uniformemente .