De las definiciones parece que la transformada de Fourier es la transformada de Laplace evaluada en el eje imaginario. Pero la transformada de Fourier da funciones delta, mientras que la transformada de Laplace da funciones bien comportadas. También parece que no son iguales en cero (que parece que deberían ser de las fórmulas).
Respuesta
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Lord Shark the Unknown
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En teoría de la probabilidad, la transformada de Laplace se conoce como "función generadora de momentos" y la transformada de Fourier como "función característica". Se da el caso de que la función característica se comporta mucho mejor que la función generadora de momentos: es la que da funciones bien comportadas.
Un ejemplo clásico es la distribución de Cauchy con función generadora $$f(x)=\frac1\pi\frac1{1+x^2}.$$ Su función característica es $$\frac1\pi\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{itx}}{1+x^2}=e^{-|t|}.$$ Su función generadora de momentos sería $$\frac1\pi\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{tx}}{1+x^2}$$ si no fuera porque esta integral diverge para todos los valores no nulos de $t$ .
Sostengo que la transformada de Fourier se comporta mejor que la transformada de Laplace.
