Suma de los recíprocos de varios semi-potencia de números (como $\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5},\frac{1}{30}=\frac{1}{48}+\frac{1}{80}$)

Question

Si $n$ es un entero positivo en la mayoría de los dos diferentes factores primos, luego llamamos a $n$ semi-poder. Por lo tanto $2,3,4,6,12,\cdots$ son semi-poder de los números, sino $30=2\cdot3\cdot5$ no lo es.

Es cierto que cada número racional positivo se puede expresar como la suma de los recíprocos de varios semi-potencia de los números? (Como $\frac{2}{5}=\frac{1}{5}+\frac{1}{5},\frac{1}{30}=\frac{1}{48}+\frac{1}{80}$.)

Answer 1

Necesitamos un hecho de lineal Diophantine ecuaciones: si $a,b$ son positivos y relativamente primos y $n>ab$, entonces no existen números enteros positivos $x,y$ con

$$xa + yb = n.$$

Pueden esbozar una prueba si es necesario.

Ahora supongamos $p$ es primo y no de la división de dos números enteros positivos $a,b$, e $m$ es un entero positivo. Entonces, para algún entero positivo $n$, $b^n > abp^m$ y, entonces existen enteros positivos $x, y$ con

$$xab + yp^m = b^n.$$

Dividiendo a través de da

$$\frac{x}{p^mb^n} + \frac{y}{ab^{n+1}} = \frac{1}{abp^m}.$$

Lo anterior, además de inducción sobre el número de factores primos del denominador le da su resultado. Es suficiente para demostrar que $\frac{1}{n}$ puede ser escrito como la suma de los recíprocos semi-poder de los números.

Caso Base: $n$ contiene uno o dos factores primos. A continuación, $n$ es semi-poder y $\frac{1}{n}$ es el recíproco de uno.

Inductivo caso: Supongamos $\frac{1}{n}$ es la suma de los recíprocos de semi-potencia de números para todos los enteros $n$ a a $d$ factores primos. Supongamos $n$ $d+1>2$ factores primos; a continuación, $n$ puede ser escrito como $$n = p^m a b$$ donde $ab$ contiene $d$ factores primos (y $\gcd(p,ab)=1$). Lo anterior muestra cómo escribir $\frac{1}{n}$ como la suma de fracciones cuyo denominador contiene en la mayoría de las $d$ factores primos.