La comprensión de la Probabilidad Condicional con Más de 2 Eventos

Question

Hay una diferencia entre:

$$p(y|x,z) = \frac{p(y,x|z)}{p(x|z)}$$ y $$p(y|x,z) = \frac{p(y,x,z)}{p(x,z)}$$

Yo estaba trabajando en un problema que le pide a uno para demostrar $p(x, y|z) = p(x|z)p(y|x, z)$ y el segundo acaba de llegar a mi mente.

Answer 1

Ambos son correctos; el uso de lo que usted encuentra el más útil. $$\begin{align}\mathsf p(y\mid x, z) ~=~&\dfrac{\mathsf p(x, y\mid z)}{\mathsf p(x\mid z)} \tag 1\\[1ex]~=~&\dfrac{\mathsf p(x,y,z)}{\mathsf p(x, z)}\tag 2\end{align}$$

En este caso, que es (2), que sigue directamente de la definición de probabilidad condicional, mientras que (1) es lo que están tratando de probar (y debemos contribuir a evitar circular pruebas).

Por lo $$\begin{align}\mathsf p(x,y\mid z) ~=~& \frac{\mathsf p(x,y,z)}{\mathsf p(z)} &\text{definition: conditional probability}\\[1ex]=~& \frac{\mathsf p(x,z)~\mathsf p(y\mid x, z)}{\mathsf p(z)} &\text{definition: conditional probability} \\[1ex] \vdots~& \end{align}$$