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Cuánto matemática debemos demostrar todo lo numérico simple identidades?

Considere la posibilidad real de expresiones numéricas construye sólo a partir de los números enteros, los operadores de $+,-,\times,/$ y tomando una expresión positiva a una potencia (sin variables), por ejemplo, $$\frac{2}{7},\ 2^{1/2},\ \sqrt[5]{2+\sqrt{11}},\ 2^{\sqrt{3}},\ ...$$ Ahora podemos escribir identidades entre tales expresiones son verdaderas, por ejemplo, $\sqrt{3+\sqrt{8}}=1+\sqrt{2}$ o falsa, por ejemplo,$\frac{3}{5}=\frac{2}{7}$.

Es posible probar todas esas identidades verdaderas y refutar las falsas identidades utilizando sólo la costumbre de "alta escuela" el álgebra de las reglas?

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Vladimir Reshetnikov Puntos 18017

Hasta donde yo sé, este es un problema abierto. Podría darse el caso de que aun $ZFC$ axiomas no son suficientes para resolver todas estas preguntas, o que el problema es indecidible (aunque parezca raro). El principal problema que sabemos muy poco sobre el comportamiento de las repetidas exponenciación. Por ejemplo, se desconoce si el siguiente número es un número entero: $$2^{2^{2^{2^{2^{2^{1/2}}}}}}$$ Personalmente, espero que no haya sorpresas a ser descubierto en el repetido exponenciación, que este número será finalmente resultó ser trascendental, y que no hay inesperado identidades en su clase de expresiones que no puede ser explicado usando sólo la "alta escuela" álgebra reglas. Pero estos son sólo conjeturas.

-5voto

user11300 Puntos 116

Voy a responder que no.

Supongamos que usted podría probar todas las identidades uso de tales reglas. Entonces no podría obtener por escrito algunos infinita lista de todas esas identidades (usted podría enumerar todas esas identidades por una función característica que devuelve "true" para que cada verdadera identidad y "false" para cada una identidad falsa). Pero, lo que implicaría que podría tener un bijection entre el conjunto de todos los números naturales y todos los de esas identidades. Así, podría codificar todas esas identidades a través de los números naturales. Se incluyen en esta lista de identidades todas las identidades que implican números reales, incluyendo pi=pi, e=e, sqrt(2)=sqrt(2). Que el conjunto de identidades claramente tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todos los números reales. Pero, no existe la bijection entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los números naturales. Así que no existe ninguna bijection entre el conjunto de todos los números naturales y que de todos los de "alta escuela" álgebra identidades. Por lo tanto, usted no puede probar que "todas estas identidades verdaderas y refutar las falsas identidades utilizando sólo la costumbre de "alta escuela" álgebra reglas".

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