El centroide del triángulo de Morley de un triángulo isósceles es colineal con los focos del inelipse de Steiner

Question

Tengo una pequeña pregunta sobre geometría que me ha hecho un amigo:

Sea $\triangle ABC$ ser isósceles. Sea $M$ sea el (equilátero) Triángulo de Morley determinado por los trisectores de los ángulos de $\triangle ABC$ y que $E$ sea el Steiner inellipse tangente a las aristas de $\triangle ABC$ en sus puntos medios. Demostrar que el centroide de $M$ es colineal con los focos de $E$ .

No tengo ninguna idea para demostrarlo.

Muchas gracias.

Answer 1

Para $\triangle ABC$ un isósceles "alto", con ángulo de vértice de medida inferior a $60^\circ$ el resultado es obvio por simetría. (Todos los puntos de interés se encuentran en la altitud apropiada.) Podemos incluir el $60^\circ$ ángulo del vértice ---es decir, equilátero $\triangle ABC$ --- en ese caso. (Todos los puntos de interés coinciden con el centroide del triángulo.) Para un isósceles "corto", el resultado simplemente no es cierto, como se muestra.

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Para responder a una pregunta planteada en un comentario: En un isósceles triángulo, el centro de Morley se alinea con algunos eje de la inelipse de Steiner. Sin embargo, eso no es decir mucho, porque todo es simétrico en un triángulo isósceles.

En un escaleno triángulo, el centro de Morley no necesita alinearse con ninguno de los ejes del inelipse de Steiner:

Answer 2

Pistas para un enfoque algebraico.

Primero, Marden's dice que los focos de la inelipse de Steiner son las raíces de la derivada del polinomio cúbico, cuyas raíces son los vértices de los triángulos (aquí, estamos pensando en las coordenadas de los triángulos como números complejos en el plano). Así, si tu triángulo es isósceles, entonces puedes suponer que tu triángulo tiene vértices $i, -a, a$ para algunos $a>0.$ A continuación, los puntos focales se encuentran fácilmente utilizando el teorema de Marden.

Segundo, esta entrada de Wikipedia dice que las coordenadas trilineales del centroide del triángulo de Morley son: $$\cos\frac{A}{3}+2\cos\frac{B}{3}\cos\frac{C}{3}:\cos\frac{B}{3}+2\cos\frac{C}{3}\cos\frac{A}{3}:\cos\frac{C}{3}+2\cos\frac{B}{3}\cos\frac{A}{3}$$

Esto le permite encontrar las coordenadas del centroide y, a continuación, puede utilizar su método favorito de coordenadas/complejo para establecer la concurrencia de los tres puntos. Ten en cuenta que aunque lo anterior parece desalentador, puedes calcular fácilmente esos cosenos porque tu triángulo ahora tiene lados: $$2a, \sqrt{a^2+1}, \sqrt{a^2+1} .$$

Pero por lo que parece, los cálculos podrían volverse un poco tediosos.