Y de donde

Question

Así que, voy a mostrar que:

Dado $(x_n)$ una secuencia de números reales, con a $(x_n) \to 0$, y dado $0<c<1$, $(y_n) \to 0$ donde $y_n = c^n x_0 + c^{n-1} x_1 + ... + c^0 x_n$.

Aquí está mi intento, y agradecería cualquier corrección:

Desde $|y_n| < c^n |x_0| + c^{n-1} |x_1| + ... + c^0 |x_n|$, voy a asumir la $x_n$ son todas positivas y tratar de mostrar que $y_n$ todavía va a cero.

Supongo que, para un determinado $d > 0$, existen arbitrariamente grande,$n$, de tal manera que $y_n > d$. Entonces, desde el $\forall n$, $$y_{n+1} = c (y_n) + x_{n+1} \implies y_{n+1} - y_n = (c-1) y_n + x_{n+1}$$, tendríamos $$y_{n+1} - y_n = (c-1) y_n + x_{n+1} < (c-1) d + x_{n+1}$$, y desde $\exists N_0$ tal que $n > N_0 \implies x_n < \frac{(1-c)}{2}d$, tendríamos, por $n > N_0$,

$$y_{n+1} - y_n < (c-1) d + x_{n+1} < (c-1) d + \frac{(1-c)}{2}d = \frac{(c-1)}{2}d < 0$$.

Asumiendo $y_{n+1} > d$ y continuando de esta manera, se podría, eventualmente, obtener un $N$ tal que $y_N \leq d$. Entonces, para el periodo subsiguiente, $$y_{N+1} = c \cdot y_{N} + x_{N+1} \leq c \cdot d + \frac{(1-c)}{2}d = \frac{(c+1)}{2}d$$ .

Si $y_{N+1} > d$, luego

$$y_{N+2} - y_{N+1} < \frac{(c-1)}{2}d \implies y_{N+2} < y_{N+1} + \frac{(c-1)}{2}d < \frac{(c+1)}{2}d + \frac{(c-1)}{2}d = c \cdot d < d$$.

Por lo tanto, lo suficientemente grande para $N$, $n > N \implies y_n < 2 d$.

Desde $d$ fue arbitraria, $(y_n) \to 0$.

Answer 1

Dado $\varepsilon > 0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que $|x_n| < \varepsilon$ por cada $n>N$.

A continuación, para cada $n>N$, $$ |y_n| \leq c^n \sum_{j=0}^N c^{-j} |x_j| + \varepsilon \sum_{j=N+1}^{n}c^{n-j} = c^n \sum_{j=0}^N c^{-j} |x_j| + \varepsilon \frac{1-c^{n-N}}{1-c}. $$ Desde $c^n \to 0$, se deduce que $$ \limsup_{n\+\infty} |y_n| \leq \varepsilon \frac{1}{1-c}, $$ así que podemos concluir que el $\lim_n y_n = 0$.

Answer 2

Permítanme sugerir un enfoque totalmente diferente.

Supongamos que $$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty x_n z^n, \quad g(z)=\sum_{n=0} ^\infty c^nz^n, \quad\text{y, a continuación,}\quad h(z)=f(z)g(z)=\sum_{n=0}^\infty y_nz^n, $$ donde $\,y_n=x_n+cx_{n-1}+\cdots+ c^n x_0$. Luego, el radio de convergencia de $f$ $g$ es de al menos 1, y por lo tanto al menos 1 es el radio de convergencia de $h$. Por lo tanto $y_n\to 0$.