Es un mapa siempre es null-homotópica?

Question

Deje $X,Y$ CW-complejos con $X$ finito dimensionales y $X = \bigcup_{n \in \Bbb N} X_n$ cuando la $X_n\subset X_{n+1}$ son finitos sub-complejos de $X$. Si $f: X \rightarrow Y$, $f|_{X_n}$ null-homotópica es $f$ necesariamente null-homotópica?

EDIT: por Favor, no downvote de las respuestas como se me había olvidado incluir el supuesto de $X_n\subseteq X_{n+1}$

Answer 1

Supongamos $X=Y=S^1$ con su CW-descomposición con dos vértices y dos $1$-células, $f:X\to Y$ el mapa de identidad, y dejar que el $X_n$ ser toda su adecuada subcomplejos.

Answer 2

Hay ejemplos de fantom mapas de finito-dimensional de CW-complejos, véase, por ejemplo,

C. McGibbon, Fantasma de mapas. En: I. James (ed), "Manual de topología algebraica", pp 1209-1257.

Los ejemplos aparecen en la página 1212. El espacio de $X$ es la asignación de telescopio de una secuencia de mapas de $S^n\to S^n$ cuyos grados son coprime a una prima fija $p$. McGibbon se refiere a estos ejemplos como "fantom mapas de la 2ª clase". Para el propósito de la pregunta, estos son los mapas que son no nulos-homotópica, cuyas restricciones para cada finito subcomplejo es nulo homotópica.

Edit. Aquí es útil teorema:

Para un CW complejo de $X$ y un número de $n$ definimos el subgrupo $Fantom^n(X)< H^n(X)$ a consistir (fantom) cohomology clases cuya restricción a cada finito subcomplejo en $X$ es trivial.

Teorema. $Fantom^n(X)\cong Ext^1(H_{n-1}(X)/Torsion, {\mathbb Z})$.

Ver Infinita CW-complejos, Brauer grupos y el fantasma cohomology, página 2.

Por lo tanto, se puede construir un espacio con un valor distinto de cero 2º fantom cohomology tomando, por ejemplo, un espacio con $H_1(X)\cong {\mathbb Q})$ (desde $Ext^1({\mathbb Q}, {\mathbb Z})$ es enorme, isomorfo a ${\mathbb A}/{\mathbb Q}$ donde ${\mathbb A}$ es el grupo de adeles). El espacio de $X$ se pueden tomar de 2 dimensiones, una presentación compleja para el grupo aditivo de los números racionales.

Para llegar desde fantom cohomology a fantom mapas, ver el $[X, K({\mathbb Z}, 2)]$.

Answer 3

Si en lugar de exigir que $X$ es finito-dimensional, que la demanda de que $Y$ es finito-dimensional, un contraejemplo es construido en Adams, Walker, "Un ejemplo en homotopy la teoría". Una $f: X \to Y$ está estructurada de tal forma que $f\big|_{X^n}$, la restricción a la $n$-esqueleto, null homotópica, sino $f$ sí no lo es. (El $X$ aquí es $\Sigma \mathbb{CP}^\infty$, y el $Y$ es homotopy equivalente a una contables de la cuña de 4-esferas.) Porque cada finito subcomplejo es en algunas de las $n$-esqueleto, esto demuestra que $f$ es nulo homotópica cuando restringida a cualquier finito subcomplejo de $X$.