¿Existen infinidad de $k$ tal que para todos los $n$ podemos encontrar una secuencia $x_i$ de los distintos números naturales
tal que $x_1^k+x_2^k=x_3^k+x_4^k=\cdots=x_{2n-1}^k+x_{2n}^k$ ?
Respuesta
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Este es un problema abierto. Poco se sabe de $k>3$.
En particular, nadie sabe si hay una solución de $$x_1^4 + x_2^4 = x_3^4 + x_4^4 = x_5^4 + x_6^4,$$ or $$x_1^5 + x_2^5 = x_3^5 + x_4^5.$$
Para más detalles, véase Richard K. Guy, Problemas sin resolver en la Teoría de números, la sección D, en las inmediaciones de las páginas 211-216. Tipo le da una extensa bibliografía, y la cites Hardy y Wright para la afirmación de que hay números que se pueden expresar como una suma de dos cubos en forma arbitraria muchas maneras, aunque los ejemplos con $n=3$ $n=4$ no fueron hallados hasta 1957 y 1991, respectivamente.
El MathWorld páginas en diophantine ecuaciones en 4 de poderes y diophantine ecuaciones en 5 de los poderes contienen un montón de información interesante acerca de estas y otras ecuaciones.
Jean-Charles de Meyrignac el sitio web incluye una enorme tabla de dar, para cada una de las $m$$k$, el más pequeño de $n$ para que una solución a $$\sum_1^m x_i^k = \sum_1^n y_i^k\tag{$\bala$}$$ is known. You want $m=n=2$, but for $k>3$ and $m=2$ the best known $n$ in the table is always greater than 2, and increases rapidly with $k$. The site has extensive information about equation $\bullet$.
