El polinomio de anillo: $X$ capital o letras pequeñas

Question

Para un polinomio anillo de $F[X]$ donde $F$ es un campo, ¿qué es la convención habitual de capital o letras pequeñas para $X$?

Q1) I. e., debe ser $F[X]$ o $F[x]$?

Supongo que, teóricamente, no importa, solo por curiosidad, para saber lo que es la convención habitual.

Q2) También, solo por curiosidad, ¿por qué cuando se trata de polinomio anillos, la gente de repente se utilizan letras mayúsculas para denotar polinomios, por ejemplo,$X^2+1$, en lugar de $x^2+1$, lo que es más común que en otras ramas de las matemáticas? Hay una razón profunda?

Este trivial pregunta me ha estado molestando durante algún tiempo, pidiendo ahora que me acuerdo.

Gracias.

Answer 1

La razón por la capital de las letras de notación, como el usado por Bourbaki, por ejemplo, es insistir en el hecho de que un polinomio es no una función polinómica.

Un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo $R$ es simplemente una secuencia de coeficientes en $R$, con el tiempo termina en $0$s, dotado de dos operaciones, $+$$\times$.

Así, el indeterminada $X$ es, pero la secuencia $(0,1,0,0,0,\dots)$. Sucede que las operaciones están diseñadas de manera que $X^2=(0,0,1,0,0,\dots)$, $(X^3=(0,0,0,1,0,\dots)$ y así sucesivamente. Incluso $1=(1,0,0,0,0,\dots)=X^0$.

Para cada polinomio $P(X)\in R[X]$ uno asocia una función polinómica , a menudo se denota con el mismo nombre \begin{align*} P\colon R&\longrightarrow R\\ x&\longmapsto P(x) \end{align*} sustituir el elemento $x$ $R$ a cada ocurrencia de la indeterminada $X$.

La correspondencia de polinomio polinomio de la función no es necesariamente inyectiva, excepto en un infinito integral de dominio. Por ejemplo, en el campo de $\mathbf F_p$, el polinomio de la función asociada a la no-cero del polinomio $X^p-X$ $0$ función (esto es una manera de formular Poco de Fermat).