Deje $A$ ser cualquier conjunto no vacío. Podemos definir sumatorias de no-números negativos sobre este conjunto de índices mediante el uso de un supremum de sumas sobre subconjuntos finitos de $A$. Es decir,
$$\sum\limits_{\alpha \in A} x_\alpha = \sup \{\sum\limits_{\alpha \in F} x_\alpha \vert \ F \subseteq A \ \text{is finite}\}.$$
Definir
$$\ell^2(A) = \{f: A \to \mathbb{C} \ \vert \sum\limits_{\alpha \in A} \lvert f(\alpha) \rvert^2< \infty \}.$$
Claramente $\ell^2(A)$ $\mathbb{C}$- espacio vectorial con pointwise adición y la escala. Damos este espacio vectorial de una norma de acuerdo a $\|f\|^2= \sum\limits_{\alpha \in A} \lvert f(\alpha) \rvert^2$. Esta es la misma que la de definición estándar de $L^2(\mu)$ donde $\mu$ es contar medida en $A$. Es bien conocido el resultado de que esta norma da $\ell^2(A)$ la estructura de un espacio de Banach. El principal problema aquí es mostrar que la métrica inducida por esta norma es completa. Después de un comentario en Gerald Folland excelente texto en análisis real, debe ser "más fácil" para probar la integridad directamente.
Para ello, se toma una secuencia de Cauchy $(f_n) \in \ell^2(A)^\mathbb{N}$ y la esperanza de demostrar la convergencia con respecto a la métrica. No es difícil mostrar que para cada $\alpha \in A$, $f_n(\alpha)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{C}$ con la habitual distancia métrica. Por integridad de este espacio métrico, sabemos que $f_n(\alpha)$ converge a un número $z_\alpha \in \mathbb{C}$.
Definimos una función de $f: A \to \mathbb{C}$$f(\alpha)=z_{\alpha}$. Por supuesto, $f$ es nuestro candidato para el límite de la secuencia original. Para mostrar que $f \in \ell^2(A)$, vamos a $F \subseteq A$ ser un subconjunto finito de Una y deje $\epsilon >0$. Tome $N \in \mathbb{N}$, de modo que $\|f-f_n\|<\epsilon \ \ \ \forall n \geq N$. Por lo tanto, si $n \geq N$,$\|f_n\| < \|f_N\| + \epsilon$. Deje $B = \max\{\|f_1\|, \|f_2\|, ..., \|f_{N-1}\|, \|f_N\|+\epsilon\}$. Entonces, evidentemente,$\|f_n\| \leq B \ \ \ \forall n \in \mathbb{N}$.
El uso de este límite superior de la secuencia, llegamos a la conclusión de que $$\sum\limits_{\alpha \in F} \lvert f(\alpha) \rvert^2 = \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{\alpha \in F} \lvert f_n(\alpha) \rvert^2 \leq \limsup_{n \to \infty} \sum\limits_{\alpha \in A} \lvert f_n(\alpha) \rvert^2 = \limsup_{n \to \infty} \|f_n\|^2 \leq B^2$$ Como esto es cierto para cada subconjunto finito $F \subseteq A$, se deduce que el $$\|f\|^2= \sum\limits_{\alpha \in A} \lvert f(\alpha) \rvert^2=\sup \{\sum\limits_{\alpha \in F} \lvert f(\alpha) \rvert^2 \vert \ F \subseteq A \ \text{is finite}\} \leq B^2 < \infty $$
Ahora viene la parte que me preocupa. Nos gustaría decir que $$ \lim_{n \to \infty} \sum\limits_{\alpha \in A} \|f(\alpha)-f_n(\alpha) \|^2 = 0 $$
De hecho, cada término de la suma converge a $0$, pero el problema es que en el intento de cambiar los dos limitar las operaciones de $\lim$$\sup$.
Aquí es lo que pensé que debía hacer, pero no he tenido éxito. Para cada una de las $n \in \mathbb{N}$, se puede elegir una secuencia $(F_{n,m})$ finito de subconjuntos de a de modo tal que $$\lim_{m \to \infty} \sum\limits_{\alpha \in F_{n,m}} \|f(\alpha)-f_n(\alpha) \|^2 = \sum\limits_{\alpha \in A} \|f(\alpha)-f_n(\alpha) \|^2 $$
A continuación, la declaración anterior que queríamos demostrar, en $$\lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} \sum\limits_{\alpha \in F_{n,m}} \|f(\alpha)-f_n(\alpha) \|^2 =0$$
Yo no estaba éxito en la justificación de que el intercambio de estos límites. Me gustaría mucho agradecería un poco de ayuda en la realización de esta prueba con un mínimo de mano saludando. Entiendo que podemos caracterizar a la integridad de una normativa espacio vectorial de acuerdo a la convergencia de absolutamente convergente la serie, y que este puede ser utilizado para comprobar la integridad de $L^p(\mu)$, en un sentido más general. Sin embargo, me parece una buena lección básica de análisis a realizar esta prueba directa hasta el final.
Como una nota del lado, he pateado todo otra idea que puede ser relevante: Si $\sum\limits_{\alpha \in A} x_\alpha < \infty$, entonces creo que podemos controlar la "cola" de esta serie en el sentido de que $\forall \epsilon >0, \exists$ finito $F \subseteq A$ tal que $\sum\limits_{\alpha \in E^C} x_\alpha < \epsilon \ \ \forall E \subseteq A$$E \supseteq F$.
Gracias por su tiempo y sugerencias.
