Dos pregunta acerca de la ${\mathbb Q}(\alpha)$ $\alpha$ := $\sqrt[n]{7}$ + $\sqrt[n+3]{7}$

Question

Vamos $\alpha$ = $\sqrt[n]{7}$ + $\sqrt[n+3]{7}$ con $n$ no divisible por $3$.

1. Demostrar que $[{\mathbb Q}(\alpha) : {\mathbb Q}] = n(n + 3)$.

2. A la conclusión de que $\alpha$ es edificable si y sólo si $n = 1$, y para $n = 1$ muestran en las palabras o en las ilustraciones de cómo construir $\alpha$.

Tengo una tarea para mañana así que cualquier ayuda sería excelente. cero idea para ser perfectamente honesto

Answer 1

En primer lugar, recordemos que el $x^m-p$ es siempre irreductible $\mathbb{Q}$ $p$ prime (a través de Eisenstein del criterio).

En el campo $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{7},\sqrt[n+3]{7}]$. Contiene $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{7}]$$\mathbb{Q}[\sqrt[n+3]{7}]$, por lo que su dimensión es divisible por $n$$n+3$. Son coprime (desde $3\nmid n$) por lo que la dimensión es, al menos, $n(n+3)$ y claramente no puede ser más grande, así es exactamente $n(n+3)$, lo que te da una cota superior para$[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{7}+\sqrt[n+3]{7}]:\mathbb{Q}]$.

Para la siguiente voy a suponer que todas las raíces consideradas en tu pregunta son los reales positivos raíces (aunque no estoy seguro de si esta condición es necesaria).

Supongamos que $f(x)=x^n+7=h(x)g(x)$ es reducible sobre el campo $L=\mathbb{Q}[\sqrt[n]{7}+\sqrt[n+3]{7}]$. Desde sus raíces se $\zeta_n^i \sqrt[n]{7}$, obtenemos que $h(0)=\pm \zeta_n^j 7^{\deg(h)/n}\in L$ algunos $j$. Dado que el campo es real, tenemos que $\zeta_h^i = \pm 1$, de modo que $7^{\deg(h)/n}\in L$. Escrito $\deg(h)=d\cdot a$$d=gcd(\deg(h),n)$$gcd(a,n)=1$, podemos encontrar algunos de $b$ tal que $ab\equiv_n 1$. Llegamos a la conclusión de que $(7^{\deg(h)/n})^b=7^{ab\cdot d / n}=7^k \cdot 7^{1/(n/d)}\in L$ para algunos entero $k$ y, por tanto,$\sqrt[n/d]{7}\in L$. En otras palabras, hemos encontrado un polinomio de grado $d\leq \deg(h)$ $L$ que tiene la raíz $\sqrt[n]{7}$. De ello se desprende que el polinomio mínimo debe tener este formulario, y su grado divide $n$. Ahora tenemos $$n(n+3)=[\mathbb{Q}[\sqrt[n]{7},\sqrt[n+3]{7}]:\mathbb{Q}]=[L[\sqrt[n]{7}]:\mathbb{Q}]=[L[\sqrt[n]{7}]:L] \cdot [L:\mathbb{Q}]=d\cdot [L:\mathbb{Q}]$$ y llegamos a la conclusión de que $n+3 \mid [L:\mathbb{Q}]$. Igualmente tenemos que $n\mid [L:\mathbb{Q}]$, de modo que $(n+3)n \mid [L:\mathbb{Q}]$ y debe haber igualdad. Si usted encuentra un argumento más para este paso, voy a estar feliz de escuchar acerca de él.

Para tu segunda pregunta, yo solo indicio de que edificable números siempre vienen de iteraciones de extensiones cuadráticas.