Dar un ejemplo de un no-separables subespacio de un espacio separable

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de un no-separables subespacio de un separables en el espacio.

¿Qué tipo de ejemplos que existen?

Answer 1

Si no se preocupan por la separación de los axiomas (por ejemplo, Hausdorff, etc.) entonces usted puede tomar el siguiente ejemplo:

$\Bbb R$ con la topología define como $U$ es abierto si y sólo si $0\in U$ o $U=\varnothing$. A continuación, $\{0\}$ es denso en esta topología de modo que el espacio es separable.

Pero $\Bbb R\setminus\{0\}$ es discreto (ya que dado $x\in\Bbb R\setminus\{0\}$ el conjunto $\{x,0\}$ es abierto, por lo $\{x\}$ es relativamente abierto). E incontables espacios discretos no puede ser divisible.

Answer 2

Antidiagonal (es decir,$(x,-x)$) de Sorgenfrey avión o $(x,0)$ en el Nemytskii plano de tanto trabajo.