¿Cuál es el conjunto de números enteros positivos $n$ tal que $(6k+2)^n + 3$ y $(6k+2)^n + 5$ ¿son ambos primos?

Question

Es decir, para un $k\in N$ ¿cuál es el conjunto de enteros positivos $n$ tal que $(6k+2)^n+3$ y $(6k+2)^n+5$ ¿son ambos primos? Al menos, ¿es este conjunto finito?

Answer 1

Si quieres que todo sea primo, el término no debe tener ningún factor primo. Así que $(6k+2)^n$ no debe ser divisible por 3 ó 5. Este término nunca puede ser divisible por 3, pero sí por 5. Por lo tanto, k no debe ser 3, 8, 13, etc.

No se me ocurre cómo puedo encontrar el conjunto para n, pero creo que esto podría ayudar.