integral de bessel modificada

Question

Quiero integrar esto:

$$\int_0^{\infty} dt \exp{\left ( a \, t^b\right)} \, I_v {\left ( a \, t^b\right)} $$

donde $I_v(.)$ es la función de Bessel modificada de orden arbitrario $v$ .

¿Puede alguien ayudarme con esto, por favor?

Answer 1

$$\int_0^\infty e^{at^b}I_v(at^b)~dt$$

$$=\int_0^\infty e^{at}I_v(at)~d\left(t^\frac{1}{b}\right)$$

$$=\dfrac{1}{b}\int_0^\infty t^{\frac{1}{b}-1}e^{at}I_v(at)~dt$$

$$=\dfrac{(-1)^v}{b}\int_0^\infty t^{\frac{1}{b}-1}e^{at}I_v(-at)~dt$$

$$=\dfrac{(-1)^v}{b}\int_0^\infty\left(\dfrac{t}{-a}\right)^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}I_v(t)~d\left(\dfrac{t}{-a}\right)$$

$$=\dfrac{(-1)^v}{(-a)^\frac{1}{b}~b}\int_0^\infty t^{\frac{1}{b}-1}e^{-t}I_v(t)~dt$$

$$=\dfrac{(-1)^v~\Gamma\left(\dfrac{1}{b}+v\right)\Gamma\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{b}\right)}{\sqrt\pi(-a)^\frac{1}{b}~2^\frac{1}{b}~b~\Gamma\left(v-\dfrac{1}{b}+1\right)}$$ (según http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_486.htm )