Valor de $n$ para que una integral impropia es convergente.

Question

Una pregunta desde el Cálculo en el libro que me estoy auto-estudio es que me pide determinar el valor de $n$ para que la integral impropia a continuación es convergente:

$$\int_1^{+\infty}\left( \frac{n}{x+1} - \frac{3x}{2x^2 + n} \right ) dx$$

Mi intento es el siguiente:

Utilizando la definición de integral impropia:

$$\lim_{b\to+\infty} \int_1^{b}\left( \frac{n}{x+1} - \frac{3x}{2x^2 + n} \right ) dx$$

La primera vez que va a resolver la integral indefinida:

$$\int\left( \frac{n}{x+1} - \frac{3x}{2x^2+n} \right )dx = \int \frac{n}{x+1}dx-\int \frac{3x}{2x^2+n}dx$$

Para la primera integral, $\int \frac{n}{x+1}dx=n\ln (x+1) + \text{constant}$. Para la segunda integral, sustituyendo $u = 2x^2+n$ (y por lo tanto $dx=\frac{du}{4x}$), $\int \frac{3x}{2x^2+n}dx=\frac{3}{4}\int \frac{1}{u}du=\frac{3}{4}\ln(2x^2+n) + \text{constant}$. Así, el resultado para el conjunto de la integral es:

$$\int\left( \frac{n}{x+1} - \frac{3x}{2x^2+n} \right )dx = n\ln(x+1) - \frac{3}{4}\ln(2x^2+n) + \text{constant} = \ln\left(\frac{(x+1)^n}{(2x^2+n)^{3/4}}\right) + \text{constant}$$

Por lo tanto, el valor de la integral definida de $x = 1$ $x = b$es:

$$\ln\left(\frac{(b+1)^n}{(2b^2+n)^{3/4}}\right)-\ln\left(\frac{(2)^n}{(2+n)^{3/4}}\right)$$

Por lo tanto, el valor de la integral impropia es:

$$\lim_{b\to+\infty} \left[\ln\left(\frac{(b+1)^n}{(2b^2+n)^{3/4}}\right)-\ln\left(\frac{2^n}{(2+n)^{3/4}}\right)\right]$$

Para este límite exista, solo depende de que el límite del término $\ln\left(\dfrac{(b+1)^n}{(2b^2+n)^{3/4}}\right)$, debido a que el plazo $\ln\left(\frac{2^n}{(2+n)^{3/4}}\right)$ es una constante. Para calcular el límite de $\ln\left(\dfrac{(b+1)^n}{(2b^2+n)^{3/4}}\right)$$b\to +\infty$, supongo que podemos descuidar a los términos de $1$$(b+1)^n$$n$$(2b^2+n)^{3/4}$, porque se convierten en insignificantes como $b$ se hace más grande. Así tenemos, por el límite de este término:

$$\lim_{b\to+\infty} \ln\left(\frac{(b)^n}{(2b^2)^{3/4}}\right)$$

Para el límite anterior de existir, parece que $n = 3/2$ es el único valor posible, debido a que $\lim_{b\to+\infty} \ln\left(\dfrac{(b)^{3/2}}{(2b^2)^{3/4}}\right) = \lim_{b\to+\infty} \ln\left(\dfrac{b^{3/2}}{2^{3/4}b^{3/2}}\right) = \lim_{b\to+\infty} \ln\left(\dfrac{1}{2^{3/4}}\right)$. Si cualquier valor diferente para $n$ fueron elegidos, el logaritmo acercaría $-\infty$ o $+\infty$, y por lo tanto el límite no existe.

Para $n = 3/2$, el valor del límite es:

$$\lim_{b\to+\infty} \left[\ln\left(\frac{(b)^{3/2}}{(2b^2)^{3/4}}\right)-\ln\left(\frac{2^{3/2}}{(2+3/2)^{3/4}}\right)\right]=\lim_{b\to+\infty} \left[\ln\left(\frac{1}{2^{3/4}}\right)-\ln\left(\frac{2^{3/2}}{(7/2)^{3/4}}\right)\right]=\frac{3}{4}\ln\frac{7}{16}$$

Esto es igual a la respuesta dada por el libro. Así, este informal argumento de descuidar los términos de $1$ $n$ trabajaba.

Pero me gustaría preguntar si el razonamiento anterior es correcto, y si esta forma informal de encontrar el valor de $n$ es bueno. Es allí una manera más formal?

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Edit: Una manera más formal, mostrando que la $n$ debe $3/2$ es sugerido por David Mitra en los comentarios a esta pregunta a continuación:

$$\lim_{b\to+\infty} \ln \left( {(b+1)^n\over (2b^2+n)^{3/4} } \right) = \lim_{b\to+\infty} \ln \left( {b^n\over b^{3/2}} \cdot {\bigl(1+{1\over b}\bigr)^n\over \bigl(2 +{n\over b^2}\bigr)^{3/4}} \right)$$

Es claro de lo anterior que el $n$ debe ser igual a $3/2$. Si se tratara de un valor diferente, el límite no existe, porque la expresión dentro del logaritmo haría con enfoque de cualquiera de las $0$ (causando el logaritmo acercarse a $-\infty$) o $+\infty$ (causando el logaritmo a tienden a $+\infty$).

Answer 1

Su método es correcto y es fácil para formalizar su descuido de los términos menores.

Podemos ver que $$\ln\left(\dfrac{(b+1)^n}{(2b^2+n)^{3/4}}\right) - \ln\left( \frac{b^n}{(2b^2)^{3/4}}\right)= \ln \left( (1+1/b)^n (1+n/(2b^2))^{-3/4} \right) \to \ln 1=0$$

como $b\to \infty.$ por Lo que el límite del primer término es igual al límite del segundo término si el límite existe.

Sin embargo, esto probablemente no es la mejor manera de hacer este problema. El punto de estos tipos de ejercicios es para que usted usa para calcular el valor de una integral, por hacer algo para conseguir una sensación para el crecimiento de el integrando. A menudo no podemos integrar de forma explícita el término.

Aquí, si pones los términos en el denominador común de obtener $$ \frac{n^2 + 2nx^2 - 3x(x+1)}{(x+1)(2x^2+n)}.$$

El hecho fundamental utilizado a menudo es: $\displaystyle \int^{\infty}_1 \frac{1}{x^a} dx $ converge sólo para $a>1.$

Por lo que el $\frac{n^2}{(x+1)(2x^2+n)}$ parte claramente converge. Así que sólo tiene que preocuparse de $$\frac{2nx^2 - 3x(x+1) }{(x+1)(2x^2+n)}.$$ If $n=3/2$ then $2nx^2=3x^2$ is able to cancel with the $-3x^2$ term in the next term, so we have a linear term in the top, cubic denominator, so behaviour like $1/x^2$ which is convergent. But if not, then we always get some quadratic term in the numerator, so the behaviour is like some constant term times $1/x$, que diverge. Es instructivo para formalizar estas ideas con algunas de las desigualdades, que voy a dejar que usted trate.