Solucionar $\frac{x^2}{\left(a+\sqrt{a^2+x^2}\right)^2}+\frac{x^2(1+x^2)}{\left(a+\sqrt{a^2+x^2(1+x^2)} \right)^2}=1$

Question

He estado tratando de resolver la siguiente ecuación para $x$: \begin{align} \frac{x^2}{\left(a+\sqrt{a^2+x^2}\right)^2}+\frac{x^2(1+x^2)}{\left(a+\sqrt{a^2+x^2(1+x^2)} \right)^2}=1, \end{align} para algunos fijos $a \in (0,1/2]$.

Esta ecuación vino a partir de un análisis de un circuito eléctrico. La solución es la actual.

Sin embargo, después de tratar de resolver de forma manual, usando el software no parece que hay una buena manera de encontrar una solución.

Mi pregunta: ¿se Puede al menos dar una buena estimación de la posición del cero positivo? Por ejemplo, puede mostrar que el cero pertenece al intervalo de tiempo específico?

Aquí está una equaivalent polinomio: \begin{align} x^4 - 4a^4 - 4a^3(a^2 + x^2)^{1/2} + x^6 - 4a^3(x^2(x^2 + 1) + a^2)^{1/2} - 4a^2(x^2(x^2 + 1) + a^2)^{1/2}(a^2 + x^2)^{1/2}=0. \end{align}

Answer 1

Sugerencias:

Deje $x = a \tan (2 A)$$x\sqrt{1 +x^2} = a \tan (2 B)$, entonces, debido a las $\tan$- la mitad de ángulo teorema, la ecuación en cuestión se transforma en $$ \tan^2 (A) + \tan^2(B) = 1 $$ Esto puede ser usado para el análisis numérico, por ejemplo, (con fijo $a$) de Banach tipo de iteración de punto fijo $x^{(n)} \to B \to A \to x^{(n+1)} \to \dots $

Re-inserción de $A$ $B$ da
$$ \tan^2 \left(\frac12 \arctan \frac{x}{a}\right) + \tan^2\left(\frac12 \arctan \frac{x\sqrt{1 +x^2}}{a}\right) = 1 $$ donde uno puede comprobar para una mayor simplificación.

EDICIÓN (Marzo de 18,2018) Matlab es capaz de trazar las soluciones de la trama implícita:

Una áspera (infravalorado) la linealización es $x = 2.3 a$; cerca de $a=0$ tenemos bastante exacta de linealización $x \simeq 2.8 a$.

Answer 2

Su ecuación se simplifica a: $$\dfrac{t+\sqrt{1+t^2+\frac{a^4}{t^4}}}{2t} = (t+\sqrt{1+t^2})^2$$ con la sustitución de $a=xt.$ Posiblemente, ahora usted puede explícitamente encontrar $a$ en términos de $t$ y, a continuación, podría tener éxito haciendo un análisis asintótico, pero yo realmente duda de nada parecido a una forma cerrada existe una solución, a pesar de la ecuación de sí mismo aspecto que debe tener una solución de forma cerrada.

Answer 3

después de cuadrar una veces tenemos $$32a^8+16a^6x^2-8a^2x^2-8a^4x^2+x^8+2x^{10}+x^{12}+\sqrt{a^2+x^2}(32a^7-8a^3x^4-8a^3x^6)=16a^6(a^2+x^2+x^4)+16a^4(a^2+x^2)(a^2+x^2+x^4)+32a^5(a^2+x^2+x^4)\sqrt{a^2+x^2}$$ el aislamiento de la $$\sqrt{x^2+a^2}$$ y ajustar de nuevo obtenemos $$x^4 \left(-512 a^{10} x^4+512 a^{10}-384 a^8 x^6+64^8 x^4+256^8 x^2+64^8-64 a^6 x^{12}-256 a^6 x^{10}-320 a^6 x^8-128 a^6 x^6-48 a^4 x^{14}-128 a^4 x^{12}-128 a^4 x^{10}-64 a^4 x^8-16 a^4 x^6+x^{20}+4 x^{18}+6 x^{16}+4 x^{14}+x^{12}\right)=0$$