Así que primero tenemos las proyecciones :
- $pr_{12}:U_i\times U_j\times U_k\to U_i\times U_j$
- $pr_{13}:U_i\times U_j\times U_k\to U_i\times U_k$
- $pr_{23}:U_i\times U_j\times U_k\to U_j\times U_k$
Estos definen functors $pr_{12}^*:\mathcal{F}(U_i\times U_j)\to\mathcal{F}(U_i\times U_j\times U_k)$ y de manera similar para$pr_{13}$$pr_{23}$.
Ahora $\phi_{ij}$ son morfismos entre dos objetos de $A$$B$$\mathcal{F}(U_i\times U_j)$. Así que podemos aplicar el functor $pr_{12}$ para obtener una nueva morfismos $pr_{12}^*\phi_{ij}:pr_{12}^*A\to pr_{12}^*B$. Esta será una de morfismos en $\mathcal{F}(U_i\times U_j\times U_k)$.
Usted obtener igualmente tres morfismos $pr_{12}^*\phi_{ij}, pr_{13}^*\phi_{ik}$$pr_{23}^*\phi_{jk}$. Los tres de ellos está en la misma categoría $\mathcal{F}(U_i\times U_j\times U_k)$.
Cuál es su origen y de destino ? $\phi_{ij}$ es una de morfismos $pr_2^*\xi_j\to pr_1^*\xi_i$, así que a tirar consigue $pr_{12}^*\phi_{ij}=pr_{12}^*pr_2^*\xi_j\to pr_{12}^*pr_1^*\xi_i$. Pero $pr_2pr_{12}:U_i\times U_j\times U_k\to U_k$ es la proyección sobre el segundo factor, y $pr_{12}^*pr_2^*=(pr_2pr_{12})^*$. Así que el origen de $pr_{12}^*\phi_{ij}$ $\xi_j$ sacó de nuevo a $U_i\times U_j\times U_k$ a través de la segunda proyección. Así llamarlo $pr_2^*\xi_j$, aunque en este caso se $pr_2$ significa que la segunda proyección de la triple producto $U_i\times U_j\times U_k$ en el segundo factor.
Del mismo modo, usted tendrá tres morfismos :
- $pr_{12}^*\phi_{ij}:pr_2^*\xi_j\rightarrow pr_1^*\xi_i$
- $pr_{13}^*\phi_{ik}:pr_3^*\xi_k\rightarrow pr_1^*\xi_i$
- $pr_{23}^*\phi_{jk}:pr_3^*\xi_k\rightarrow pr_2^*\xi_j$
Tenga en cuenta que $pr_{12}^*\phi_{ij}$ $pr_{23}^*\phi_{jk}$ puede estar compuesto para obtener un nuevo morfismos
$$pr_{12}^*\phi_{ij}\circ pr_{23}^*\phi_{jk}:pr_3^*\xi_k\rightarrow pr_2^*\xi_j\rightarrow pr_1^*\xi_i$$
El cocycle condición es que esta composición es igual a $pr_{13}^*\phi_{ik}$.
Una nota rápida para obtener su mano en esto : recomiendo escribir todo esto usando el topológica de la noción de la restricción. En lugar de $pr_{12}:U_i\times U_j\times U_k\to U_i\times U_j$, piensa acerca de la inclusión de $U_i\cap U_j\cap U_k\subset U_i\cap U_j$. Así que en lugar de escribir $pr_{12}^*\xi$, escribir $\xi|_{U_{ijk}}$.
Todo esto puede ser escrito como sigue :
- tomar objetos $\xi_i\in\mathcal{F}_{U_i}$
- isomorphisms $\phi_{ij}:\xi_i|_{U_i\cap U_j}\to \xi_j|_{U_i\cap U_j}$
- tal que en la triple intersección $U_{ijk}=U_i\cap U_j\cap U_k$ : $\phi_{ik}|_{U_{ijk}}=\phi_{ij}|_{U_{ijk}}\circ \phi_{jk}|_{U_{ijk}}$ como morfismos $\xi_k|_{U_{ijk}}\to\xi_i|_{U_{ijk}}$.
