¿Cuál es la diferencia entre la dimensión de un grupo y la dimensión de su representación?

Question

Estoy leyendo el siguiente post para aprender sobre las interacciones de QCD: ¿Por qué se utilizan 3 colores en la QCD?

Sin embargo, no logro comprender la diferencia conceptual entre la dimensión de un grupo y la dimensión de su representación. La información que encontré utiliza un formalismo de teoría de representación que todavía no entiendo completamente.

¿Cuál es la diferencia en la definición de la dimensión de un grupo y su representación? Y en particular, ¿por qué la simetría $SU(N)$ corresponde a $N^2-1$ cargas conservadas?

Answer 1

Un ejemplo ilustrativo.

El grupo $SU(2)$ es tridimensional. Está generado por las tres matrices de Pauli. $$\sigma_x = \left(\begin{matrix}0&1\\ 1 & 0\end{matrix}\right) \qquad \sigma_y = \left(\begin{matrix}0&i\\ -i & 0\end{matrix}\right)\qquad \sigma_z = \left(\begin{matrix}1&0\\ 0 & -1\end{matrix}\right)$$

Estas matrices actúan por multiplicación en un espacio vectorial de dimensión $2$, la representación estándar de $SU(2)$. La dimensión de esta representación es $2$.

Answer 2

La dimensión de un grupo de Lie se da equivalente por la dimensión de su variedad correspondiente, la dimensión de su álgebra de Lie asociada o el número de generadores del grupo.

Por otro lado, para entender cuál es la dimensión de una representación (lineal) debemos comprender qué significa una representación lineal. Los elementos del grupo son abstractos en el sentido de que se definen por la forma en que actúan sobre ciertos objetos. Por ejemplo, el grupo de rotación en tres dimensiones está dado por operadores que rotan vectores tridimensionales. Dada una representación lineal, los elementos del grupo se asignan adecuadamente en operadores lineales que actúan en un espacio lineal. La dimensión de este espacio lineal es la dimensión de la representación. Recordando que los operadores lineales que actúan en un espacio lineal se pueden escribir como matrices $n$x$n$, entonces vemos que la dimensión de la representación correspondiente es $n$. La representación del álgebra de Lie también se define de la misma manera y esto en realidad induce la representación del grupo ya que los elementos del grupo se pueden obtener mediante la exponenciación del álgebra.

En particular, el grupo $SU(N)$ tiene una dimensión de $N^2-1$, ya que tiene $N^2-1$ generadores, y entre otros tiene las llamadas representaciones definitorias y adjuntas que tienen dimensiones $N$ y $N^2-1$, respectivamente. Esto se debe a que el grupo $SU(N)$ se puede definir como el conjunto de matrices unitarias $N$x$N$ con determinante unitario y la representación adjunta del álgebra utiliza el álgebra en sí como el espacio lineal para la representación.

Answer 3

La respuesta de Diracología es correcta en cuanto a que este es el uso estándar del término "dimensión de una representación", pero supongo que puedes estar confundido simplemente porque hay otro significado plausible que la frase podría tener, pero no tiene, en la literatura.

Recuerda que una representación $\rho:\mathfrak{G}\to\mathrm{End}(V)$ es un homomorfismo entre un grupo de Lie $\mathfrak{G}$ y el grupo $\mathrm{End}(V)$ de endomorfismos lineales y homogéneos en un espacio vectorial $V$. Ejemplo: $\mathfrak{G}$ suele ser el grupo de Lorentz o el grupo de Poincaré y $V$ el espacio de Hilbert seprable e infinitamente dimensional de los estados de un sistema cuántico y buscamos $\rho$ que nos diga qué transformación unitaria sufre nuestro espacio de estados cuánticos cuando se le imponen transformaciones de Poincaré al marco de referencia del sistema cuántico.

La dimensión de esta representación es, como se discute en la respuesta de Diracología, $\aleph_0$. O, en ejemplos ligeramente diferentes, podría ser algún número finito: el mismo que la dimensión del espacio de estados cuánticos en cuestión: la dimensión del espacio vectorial $V$.

De todas formas, siempre exigimos que $\rho$ sea suave, de modo que el grupo de endomorfismos $\mathfrak{H} = \mathrm{Im}(\rho)\subseteq\mathrm{End}(V)\subseteq GL(V)$ en el extremo puntiagudo del homomorfismo $\rho$ también sea un grupo de Lie. En consecuencia, debido a que $\rho$ es un homomorfismo, la dimensión de $\mathfrak{H}$ como grupo de Lie debe ser igual o menor que la del grupo de Lie original. Este es el segundo significado plausible de dimensión aquí, pero no es un uso estándar llamar a este número la dimensión de la representación. Esta última dimensión depende del núcleo del homomorfismo. Si el núcleo es discreto, entonces $\mathfrak{G}$ es un recubrimiento de $\mathfrak{H}$ y los dos grupos tienen la misma dimensión. Si el núcleo es un grupo de Lie, entonces la dimensión de $\mathfrak{H}$ es menor que la de $\mathfrak{G}$ de modo que $\dim(\mathfrak{G})=\dim(\mathfrak{H}) + \dim(\ker(\rho))$.