¿Cómo se puede demostrar que $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y}$ no existe?

Question

Tengo que demostrar que este límite no existe.

$$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+y}$$

He probado este parametrización: $\begin{cases} x = t \\ y = mt^\alpha\end{cases}$

obteniendo como resultado que el límite anterior, en este caso específico sería el equivalente a

$$\lim_{t\to0} \frac{mt}{t^{2-\alpha}+m}$$

que sería nulo para cada valor de $\alpha,m$.

El uso de un sistema de coordenadas polares no parece eficaz.

¿Cómo puedo demostrar que no existe?

Answer 1

Deje $y=-x^2+x^4$. A continuación,

$$\frac{xy}{x^2+y}=-x^{-1}+x$$

¿Qué pasa ahora?

Answer 2

Como una alternativa a la solución por medio de la Marca de la Viola, tenga en cuenta que

• para $x=t \quad y=t \quad t\to 0 \implies \frac{xy}{x^2+y}=\frac{t^2}{t^2+t}=\frac{t}{t+1}\to0$

• para $x=t \quad y=t^3-t^2 \quad t\to 0 \implies \frac{xy}{x^2+y}=\frac{t^4-t^3}{t^2+t^3-t^2}=\frac{t^4-t^3}{t^3}=t-1\to -1$

Answer 3

Si $y=\frac {x^2}{x-1} $, el límite es

$$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac {xy}{xy}=1$$

pero si $x=\sqrt {y} $, da $$\lim_{(x,y)\to (0,0^+)}\frac {\sqrt {y}}{2}=0.$$ Así, el límite no existe.

Answer 4

Deje $$m=\frac{xy}{x^2+y}$$ Entonces $$m(x^2+y)=xy$$ so $$y=\frac{mx^2}{x-m}$$

Para cualquier $m$ tenemos una ecuación de una curva, que se reúne $(0,0)$, y en el que la expresión de $\frac{xy}{x^2+y}$ es constante, igual a $m$. De esta manera hay infinitamente muchos caminos que conducen al origen, cada uno de los cuales resultan en diferentes límite de $m$.

Por tanto, el límite no existe.