@David Hace su pregunta media (incluso en términos vagos) : "Dada la $K$, ¿cuál es el "más pequeño" $S$ tal que $K^S/K$ es infinito ?". Debido a que el examen de diversos casos conocidos parece sugerir lo contrario de una respuesta uniforme. Todo, fijar un número primo $p$ (que se supone ser impar para evitar petty problemas) y desplazar el problema de $K^S$ $K^S (p)$= la máxima pro-$p$-extensión de la $K$ unramified fuera de $S$, con grupo de Galois $ {G^S_K}(p)= Gal(K^S (p)/K)$ .
1) Tome $S$ contiene todos los $p$-lugares de $K$. Es bien sabido por CFT que ${G^S_K}(p)^{ab}$ $\mathbf Z_p$- módulo de rango $1+r_2+ \delta$ donde $r_2$ es el número de lugares complejos de $K$ $\delta \in \mathbf N$ es conjecturally null. Así que el punto es si $S$ puede ser reducido o no.
2) consideremos primero quitar algunos $p$-lugares de $S$. Considere la posibilidad de un imaginario cuadrática campo $k$ s.t. $p$ se divide completamente en $k$, decir $(p)=P.P^*$, y una curva elíptica $E$ definida sobre un campo de número de $F$, con complejo de la multiplicación por el anillo de enteros de $k$. Supongamos, además, que $E$ tiene buena ordinaria en cualquier $p$-lugar. A continuación, el campo de $F(E_{P^{\infty}})$ obtenido por la adición de todos los $P^n$-torsión puntos de $E$ $\mathbf Z_p$- extensión de la $K=F(E_P)$. Por lo tanto $K^S/K$ es infinito, con $S$={$P$}.
3) Vamos a ser ir a las extremidades y el corte de $S$ a es el conjunto vacío, por lo que el $K^S (p)$ es el llamado "$p$-campo de clase de la torre". El Golod-Safarevic teorema dice que existe una función de $\gamma (n)$ s.t., para todos los campos de número de $k$ grado $n$ finitos $p$-campo de clase de la torre, $\gamma(n)$ > el número mínimo de generadores de la $p$-grupo de clase de $k$. Uno puede incluso llevar a $\gamma(n)=2+2\sqrt(n+1)$. Por otra parte, para un finito $p$grupo $G$, es conocido por cohomological consideraciones que $r(G) > \frac 14 d(G)^2$ donde $d(G)$ (resp. $r(G)$) dotes el número mínimo de generadores (resp. las relaciones) de $G$. La combinación de estas dos propiedades da ejemplos de finito así como de los infinitos $p$-el campo clase de torres.
4) Otro enfoque reside en la "domar" la situación, en la que $S$ contiene no $p$-lugar, por lo tanto $K^S (p)$ no contiene $\mathbf Z_p$-extensión, por lo tanto ${G^S_K}(p)^{ab}$ es finito (esta propiedad se llama FAB). En el comienzo de este siglo, un poco a la sorpresa general, de J. Labute producido una familia de grupos de Galois $G^S_{\mathbf Q}(p)$ llamado leve, de cohomological dimensión $2$, por lo tanto torsión libre, por lo tanto infinita. A grandes rasgos, los primeros términos de las relaciones de un leve pro-$p$grupo $G$ debe satisfacer las especiales propiedades combinatorias con el fin de que el graduado de álgebra integrada en la parte inferior $p$-central de la serie de $G$ tiene una buena conveniente descripción en términos de la correspondiente gratis clasificados álgebra. La evolución posterior de A. Schmidt et. al. proporcionar un suministro infinito de ejemplos más de un número arbitrario de los campos. Uno debe
también el comentario de la relevancia de la aritmética grupos de la fábrica con respecto a la Fontaine-Mazur conjetura de $p$-ádico representaciones ./.
