Si el plano de la curva tiene curvatura acotada desde abajo, es contenida en un disco?

Question

Deje $\gamma: (0,1) \to \mathbb{R}^2$ $C^\infty$ regular plano de la curva, y supongamos que su curvatura es, al menos, $k_0$ en todas partes. Es la imagen de $\gamma$ contenida en el disco de radio $\frac{1}{k_0}$?

Intuitivamente, parece probable que sea cierto. Si elegimos $p$ a una distancia de $\frac{1}{k_0}$ desde y perpendicular a $\gamma(0)$, entonces parece que la curva de avance lento hacia la $p$. Sin embargo, me parece que no puede probar que este es el caso.

Si la imagen de $\gamma$ $\mathbb{R}^3$ (o $\mathbb{R}^n$ cualquier $n > 2$), entonces creo que el resultado es falso, ya que podemos tomar con fuerza la herida de la hélice, que se desplaza hacia arriba, muy alto. Por lo tanto, si el resultado es verdadero en $\mathbb{R}^2$, entonces creo que realmente utiliza el $2$-dimensiones-ness del espacio.

Una cosa que sé, es que si $|\gamma(t)|$ se maximiza cuando se $t = t_0$,$|k(t_0)| \ge \frac{1}{|\gamma(t_0)|}$. Tal vez podemos traducir la curva de modo que el $p$ definido anteriormente, es el origen y, a continuación, usar algo como esto de alguna manera? La desigualdad va en la dirección equivocada, así que probablemente necesitan algún tipo de resultado opuesto, pero no estoy seguro de lo que el resultado sería.

Answer 1

Esto no es cierto: el "helicoidal" comportamiento puede manifestarse incluso en el plano, en tanto que permiten la auto-intersecciones. Por ejemplo, un adecuado reparametrization de $$\gamma:\mathbb R \to \mathbb R^2:\gamma(t)=(t+2 \sin t,2 \cos t)$$ produce una desenfrenada curva buscando algo como esto:

Esperemos que sólo a partir de la imagen que cree que esta curva tiene curvatura acotada por debajo, de lo contrario, usted puede hacer un cálculo manual para verificar que $\gamma'\times\gamma''$ se queda lejos del cero. Ya que es ilimitado, deja a cada disco, y por lo tanto es un contraejemplo.

El truco estamos tirando aquí es esencialmente la misma que la requerida para conducir un coche que sólo puede girar a la izquierda - si usted desea girar a la derecha, gire a la izquierda tres veces.

Si asumimos $\gamma$ es un simple y cerrada curva, a continuación, mi intuición es que su implicación sostiene el hecho de que la curvatura tiene signo constante le dirá que $\gamma$ es convexa, por lo que escribir es como un gráfico polar $r(\theta)$ probablemente será fructífera.