Cuando son las Leyes de los Exponentes correcta?

Question

Las reglas de poderes están en la secundaria, libros a menudo se afirma brevemente de la siguiente manera:

1. $\displaystyle a^n \cdot a^m = a^{n+m}$
2. $\displaystyle \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
3. $\displaystyle \left (a\cdot b\right )^n = a^n \cdot b^n $
4. $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$
5. $\displaystyle \left(a^n\right )^m = a^{n\cdot m}$

A veces trato de explicar a mis secundaria los estudiantes que esas reglas no siempre son ciertas. Por ejemplo, $0^{-2} \cdot 0^{2} = 0^0$ o me dan otro interesantes deducciones falsas, tales como: $$\left(-1\right)^3=(-1)^{6\cdot \frac{1}{2}}=\left((-1)^{6}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{1}=1 $$

Sin embargo, no pude encontrar una referencia exacta a donde las reglas son verdaderas.

Mayordomo de la Revisión de Álgebra estados que esas reglas son verdaderas si $a$ $b$ son positivos (real) número y $n$ $m$ son números racionales. Este es, por supuesto, muy conservador. Estas reglas también son verdaderos si $a\ne$, $b\ne 0$ y $n,m$ enteros. Además de que creo que muchas de esas reglas también son verdaderos si $n,m$ son números reales.

Así que mi pregunta es, cuando son las reglas anteriores correcta?

Answer 1

Siempre $a,b>0$, todas las normas son verdaderas para el real $a,b,m,n$.

Si $a=0$ o $b=0$, sin poder negativo puede aparecer.

Para $a<0$ o $b<0$, irracional exponentes son excluidos. Racional siempre el denominador de la fracción simplificada es impar. Esto puede causar la regla 5 a fallar ($(-1)^1\ne((-1)^{1/2})^2$).

Answer 2

Cuando la base es positiva y el exponente es real, o la base es cero y el exponente es positivo, o la base es negativa y el exponente es un número entero.