Subgrupos de un producto directo

Question

Hasta hace poco, yo creía que un subgrupo de un producto directo fue el producto directo de los subgrupos. Obviamente, existe un trivial contraejemplo a esta declaración.

Tengo una pregunta con respecto a este. Es triple:

1. Oigo que un teorema llamado Goursat del lema estados caracterización de subgrupos de un producto directo. Lo he leído en Lang, Álgebra, pero su declaración es un poco contradictorio, y no sé cómo utilizarla para resolver problemas. Estaría agradecido si usted podría dar un indicio sobre este lema.

2. Tuve la mencionada falsa creencia de que cuando traté de solucionar este problema, y se parecía a trabajar en este problema específico. Cuando es la generalmente declaración falsa? (O es mi razonamiento para concluir que la respuesta al problema es de 8 defectuoso?)

3. Tengo problemas similares a la anterior, es decir, el recuento de los subgrupos de $\Bbb Z/p\Bbb Z \times \Bbb Z/p \Bbb Z$ $\Bbb Z/p^2\Bbb Z \times \Bbb Z/p^2 \Bbb Z$ donde $p$ es un número primo. ¿Cómo puedo usar las consideraciones anteriores para solucionar este problema?

Agradecería su ayuda.

EDIT: he corregido un error tipográfico en la última problema.

EDIT 2: El problema que se menciona en 2. se trata de que el número de elementos de un cierto orden, no la de los subgrupos. (Me había olvidado de que cuando escribí esta pregunta.) Todavía estoy interesada en la cuestión indicado en 2., sin embargo.

Answer 1

En primer lugar el estado de la caracterización del subgrupo de un producto directo. A continuación, voy a tratar de hacer esta caracterización parece al menos un poco intuitiva, explicando qué tipo de subgrupos que da. Por último, voy a demostrar cómo se usan para encontrar el número de subgrupos de $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$.

La caracterización dice lo siguiente: Vamos a $G$ $H$ grupos. A continuación, los subgrupos de $G\times H$ están en bijection con el conjunto de $5$-tuplas $(G_1,G_2,H_1,H_2,\varphi)$ donde $G_2\unlhd G_1\leq G$, $H_2\unlhd H_1\leq H$ y $\varphi: G_1/G_2\to H_1/H_2$ es un isomorfismo.
La correspondencia está dada por la asignación a una tupla el subgrupo $\{(g,h)\in G_1\times H_1\mid \varphi(gG_2) = hH_2\}$.

Así que vamos a echar un vistazo a qué tipo de subgrupos podemos construir "ingenuamente" en el producto directo, y tratar de ponerlos en el formulario de arriba.
En primer lugar, tenemos a las personas de la forma $G_1\times H_1$ (estos son los más fáciles a pensar). Estos corresponden a recoger $G_2 = G_1$ $H_2 = H_1$ y el único homomorphism de $G_1/G_2$ $H_1/H_2$(ya que estos grupos son tanto trivial). (Comprobar que este hecho se produzca el subgrupo $G_1\times H_1$).

A continuación, el ejemplo común de un subgrupo que no es de este formulario es el producto directo de los $G\times G$ donde tenemos la diagonal subgrupo dado por todos los elementos de la forma $(g,g)$. Para hacer esto mejor encajan con lo anterior, suponga que $G$ $H$ son isomorfos y que $\varphi$ es un isomorfismo entre ellos (escribiendo como $G\times G$, esencialmente corresponde a haber escogido un isomorfismo). Ahora, la diagonal de arriba corresponde al subgrupo que consta de todos los elementos de la forma $(g,\varphi(g))$, y vemos que este subgrupo corresponde a la selección $G_1 = G$, $H_1 = H$, $G_2 = \{e\}$, $H_2 = \{e\}$ y $\varphi$ como el isomorfismo (de nuevo).

Pero claro que podemos fácilmente generalizar el de arriba, si los dos grupos han subgrupos $G_1$$H_1$, que es isomorfo a través de algunos isomorfismo $\varphi$, lo que nos da el subgrupo compuesto de elementos de la forma $(g,\varphi(g))$, ahora con $g\in G_1$$h\in H_1$. Esto corresponde a recoger $G_1$ $H_1$ a los subgrupos (de ahí la elección de la notación), y $G_2$ $H_2$ tanto para ser el subgrupo trivial como el de arriba (y de nuevo el isomorfismo debería ser $\varphi$).

La generalización más en lo anterior, supongamos que tenemos dos subgrupos $G_1$ $H_1$ y un surjective homomorphism $\varphi':G_1\to H_1$. Ahora podemos volver a formar el grupo que consiste de todos los elementos de la forma $(g,\varphi'(g))$ $g\in G_1$ (nunca se necesita la homomorphism a ser bijective arriba). Esto corresponde a la selección $G_2 = \rm{ker}(\varphi')$, $H_2 = \{e\}$ y $\varphi$ a ser el isomorfismo $G_1/G_2\to H_1$ inducida por $\varphi'$ ().

Tenga en cuenta que la razón por la que escoja $\varphi'$ a ser surjective en la anterior es que, de lo contrario, se podría mirar la imagen de $\varphi'$.

El paso final en la generalización de estas ideas es probablemente la menos intuitiva. Es decir, tenemos dos subgrupos $G_1$$H_1$, pero no necesariamente tiene un homomorphism entre ellos. En su lugar, tenemos un homomorphism $\varphi$ $G_1$ a algunos cociente $H_1/H_2$ que es surjective (de nuevo, el surjectivity es sólo porque, de lo contrario, se limitaría a la de la imagen). Supongamos primero este mapa también es inyectiva, para hacer las anotaciones de un poco más simple. En este caso, queremos formar algo así como los subgrupos de más arriba, pero ya no podemos simplemente tomar algo como $(g,\varphi(g))$, ya que el $\varphi(g)$ ya no es más un elemento de $H_1$ sino un elemento de $H_1/H_2$. Por otro lado, $\varphi(g)$ es un coset de $H_2$ $H_1$ y por lo tanto es un subconjunto de a $H_1$, por lo que para cada una de las $g\in G$ podemos tomar todos los elementos de la forma $(g,h)$ donde $h$ es en el coset $\varphi(g)$$H_2$$H_1$. Una vez más debe comprobar que esto es de hecho un subgrupo, y que esto corresponde a recoger $G_1 = \{e\}$ y el resto ya están en la anotación apropiada.

Para deshacerse de la exigencia de inyectividad anterior, podemos establecer $G_2$ a ser el núcleo de la homomorphism y reemplazar el homomorphism por la inducción de isomorfismo $G_1/G_2\to H_1/H_2$. Los pares ahora necesitamos son aquellos de la forma$(g,h)$, donde de nuevo $h$ es en el coset $\varphi(g)$, pero ahora tenemos que interpretar $\varphi(g)$ $\varphi(gG_2)$ (desde $\varphi$ ni siquiera necesitan ser definidos en $G_1$). Para que nuestros elementos son los de la forma $(g,h)$ donde $\varphi(gG_2) = hH_2$. Esto es, afortunadamente, precisamente, la forma dada por la caracterización, por lo que ahora tenemos todos los posibles subgrupos.

Vamos ahora, por último, echa un vistazo a encontrar el número de subgrupos de $\mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$.

Así que tenemos que encontrar todas las posibles $5$-tuplas como el anterior. Desde cada uno de los factores que han dado lugar precisamente a $3$ subgrupos, todas las clases de isomorfismo de los subgrupos y los coeficientes se determinan por su orden, y las tuplas necesidad de los dos cocientes ser isomorfo, obtenemos un total de $14$ tipos de tuplas ($9$ donde el orden es $1$, $4$ donde el orden es $p$ $1$ donde el orden es $p^2$), y para cada uno, a continuación, necesitamos saber cuántos isomorphisms que podemos elegir.

Para hacer la anotación de un poco más fácil, denotan el grupo por $G\times H$. Deje $G'$ $H'$ debe ser el adecuado, no trivial subgrupos de $G$ $H$ respectivamente. Denotar por $1$ el subgrupo trivial de cualquiera.

Nuestro tuplas a continuación tienen formas dadas a continuación. El número después de cada tupla es el número de posibles isomorphisms $\varphi$ podemos elegir (este número es el orden de la automorphism grupo de $G_1/G_2$ cual es, por supuesto, también el orden de las automorphism grupo de $H_1/H_2$. En nuestros casos, estos automorphism grupos son fáciles de calcular como la posible cocientes son todos cíclico).
$(G,G,H,H,\varphi)$ $1$
$(G,G,H',H',\varphi)$ $1$
$(G,G,1,1,\varphi)$ $1$
$(G,G',H,H',\varphi)$ $p-1$
$(G,G',H',1,\varphi)$ $p-1$
$(G,1,H,1,\varphi)$ $p^2 - p$
$(G',G',H,H,\varphi)$ $1$
$(G',G',H',H',\varphi)$ $1$
$(G',G',1,1,\varphi)$ $1$
$(G',1,H,H',\varphi)$ $p-1$
$(G',1,H',1,\varphi)$ $p-1$
$(1,1,H,H,\varphi)$ $1$
$(1,1,H',H',\varphi)$ $1$
$(1,1,1,1,\varphi)$ $1$

Ahora es sólo una cuestión de añadir estos juntos para ver que el número total de subgrupos es $(p^2 - p) + 4(p-1) + 9 = p^2 + 3p + 5$.

Answer 2

Quiero contestar a la pregunta tres, como por su comentario anterior. Yo no uso Goursat del lema explícitamente...lo siento...(Además, esto está muerto complicado, por lo que un (esperemos que no fundamentales) error o dos o seis de ellos podrían haber aparecido en. Agradecería un segundo par de ojos?)

Antes de comenzar, debo decir que yo uso la frase "por la simetría" un par de veces. Esto significa, básicamente, "Si $G=H\times K$ luego he probado para$H$, por lo que debe mantener para $K$".

La primera cosa a notar es el siguiente lema:

Lema: Supongamos $G=H\times K$. Un subgrupo $S\leq G$ tiene la forma $\{(h_i, k_i): i\in I\}$ donde los elementos $\{h_i\}_I$ forman un subgrupo de $H$ y los elementos $\{k_i\}$ forman un subgrupo de $K$.

Prueba: Para ver esto, cabe recordar que la $H$ es normal en $G$ y el cociente de grupo es, simplemente,$K$, por lo que la imagen de $S$ contiene precisamente los elementos $\{k_i\}$, según se requiera. Por simetría, hemos demostrado el lema.

Pregunta 3)i) voy a escribir $\mathbb{Z}_p$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$. Así, la primera parte de la pregunta tres se pregunta "¿cuáles son los subgrupos de $G=\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$?" Voy a escribir $G=H\times K$. Hay exactamente $(p-1)+2=p+1$ apropiado, no trivial subgrupos de $G$. Para ver esto, observe que $\mathbb{Z}_p$ no tiene adecuada, no trivial subgrupos, y así que la escritura $S=\{(h_i, k_i): i\in I\}$ tenemos una de las tres situaciones que ocurren: $h_i$ es trivial y $k_i$ no es trivial para todos los $i\in I$ o $h_i$ no es trivial y $k_i$ es trivial para todos los $i\in I$, o ambas $h_i$ $k_i$ son no triviales para todos los $I$. En las dos primeras situaciones de los subgrupos son isomorfos a $\mathbb{Z}_p$ y no son iguales (por qué?). La última situación es la más interesante. Aquí, tenga en cuenta que una arbitraria, no trivial elemento $h_i$ genera $H$, y por lo que el elemento $(h_i, k_i)$ genera un subgrupo de todas las $k_i\in K$. Hay $p-1$ ejemplo no trivial $k_i\in K$, por lo que hay $p-1$ dichos subgrupos. Tenga en cuenta que estos subgrupos son todos los que no son iguales. Por lo tanto, no se $2+(p-1)=p+1$ apropiado, no trivial subgrupos de $G$. Tenga en cuenta que si $p=2$$p+1=3$, que tallys con el hecho de que el Klein 4-el grupo tiene tres adecuada, no trivial subgrupos.

Pregunta 3)ii) Por $G=\mathbb{Z}_{p^2}\times\mathbb{Z}_p^2=H\times K$, usar el mismo truco que el anterior. Sin embargo, $\mathbb{Z}_{p^2}$ correcto, no trivial de los subgrupos, a saber,$\mathbb{Z}_{p^2}$, por lo tanto, al elegir los elementos $\{h_i\}$ hay tres opciones, ya que son generadores de $H$ ($p$ opciones), los generadores para el correcto subgrupo de ($p-1$ opciones), o son triviales ($1$ elección). Por otra parte, aquí hay una buena, no trivial subgrupo que es un producto directo!

Vamos a clasificar los subgrupos cíclicos (arriba a la simetría). Tenga en cuenta que sólo hay una correcta, no trivial subgrupo que no es cíclico. La "simetría" significa que los hemos clasificado pero que no se puede simplemente sumar los números y multiplicar el resultado por dos. A usted le han contado cosas dos veces si hace esto.

Caso 1: Supongamos $h_i$ es trivial. Entonces hay dos no trivial subgrupos asociados a este caso, correspondiente a la no-trivial subgrupos de $K$.

Caso 2: Supongamos $h_i$ orden $p$. A continuación, $h_i$ puede ser emparejado con cada elemento de a $k_i$ orden $p^2$ $K$ para formar un subgrupo de orden $p^2$. Tenga en cuenta que estos son máximas pero que no todos los que no son iguales. Hay $p-1=p(p-1)/p$ subgrupos (por qué?). Por otro lado, $h_i$ puede ser emparejado con cada elemento de a $k_i$ orden $p$ $K$ para formar un subgrupo de orden $p$. Hay $p-1$ dichos subgrupos. Finalmente, $h_i$ puede ser emparejada con la identidad para formar un subgrupo de orden $p$$K$. Hay un dicho subgrupo.

Caso 3: Supongamos $h_i$ orden $p^2$. A continuación, $h_i$ puede ser emparejado con cada elemento de a $k_i$ $K$ para formar un subgrupo de orden $p^2$. Tenga en cuenta que estos son máximas, pero son, de nuevo, no todos los que no son iguales. Hay $p^2+(p-1)+p=p^2+2p-1$ subgrupos (por qué?).