¿Por qué esta extraña raíz de la fluencia en la solución?

Question

Yo era la solución de esta ecuación y se procedió de la siguiente manera:

$$\arcsin (1-x) - 2\arcsin (x) = \frac{π}{2}$$

$$\implies \arcsin(1-x) = \frac{π}{2} + 2\arcsin (x)$$ $$\implies \sin (\arcsin (1-x)) = \sin \left( \frac {π}{2} + 2\arcsin (x)\right)$$ $$\implies (1-x) = \cos \left(2\arcsin(x)\right)$$ $$\require{cancel}\implies \cancel{1}-x =\cancel{1}- 2 \left(\sin\arcsin (x)\right)^2$$ $$\implies -x = -2x^2$$ $$\therefore x = 0$$ O $$ x=\frac{1}{2}$$

Sin embargo, $x=\frac{1}{2}$ no satisface la ecuación original.

Entiendo que extraña las raíces de la fluencia en mientras que la solución trigonométricas inversas problemas, pero me pregunto por qué se deslizó en el aquí.

Si es posible (si no es que la pregunta es demasiado amplia), me gustaría saber las causas generales de la aparición de extrañas raíces en trigonométricas inversas ecuaciones, también.

Answer 1

Al $x=\frac12$, usted tiene $\arcsin(x)=\frac{\pi}{6}$ $\arcsin(1-x)=\frac{\pi}{6}$

por lo $\sin (\arcsin (1-x))=\sin \left( \frac {π}{6} \right)$ $\sin \left( \frac {π}{2} + 2\arcsin (x)\right) =\sin \left( \frac {5π}{6} \right) $

mostrando su tercera línea sería correcta la igualdad cuando la $x=\frac12$ desde $\sin \left( \frac {π}{6} \right)=\sin \left( \frac {5π}{6} \right) =\frac12$

pero la segunda línea no sería correcta la igualdad cuando la $x=\frac12$ desde $\frac {π}{6}\not = \frac {5π}{6}$

y es este uso de $\sin$, lo que crea una igualdad que no estaba en el original de la expresión.

$\arcsin (1-x) - 2\arcsin (x) = \frac{π}{2} \Rightarrow x=0 \text{ or } x=\frac12$ es una afirmación correcta, pero la comprobación de muestra $x=0 \Rightarrow \arcsin (1-x) - 2\arcsin (x) = \frac{π}{2}$ mientras $x=\frac12 \not \Rightarrow \arcsin (1-x) - 2\arcsin (x) = \frac{π}{2}$

Answer 2

$$-2\arcsin(x)=\dfrac\pi2-\arcsin(1-x)=\arccos(1-x)$$

Ahora, utilizando Principales valores de $\arccos$,

$0\le-2\arcsin(x)\le\pi\iff0\ge\arcsin(x)\ge-\dfrac\pi2\implies-1\le x\le0$

Ahora vamos a $\arcsin x=y\implies x=\sin y$

y $\arcsin(1-\sin y)=\dfrac\pi2+2y$

$$1-\sin y=\sin\left(\dfrac\pi2+2y\right)=\cos2y=1-2\sin^2y$$

$$\implies \sin y=0,\dfrac12$$ but $\el pecado y=x\le0$

Answer 3

El seno de la función no es uno a uno. Cuando se aplica esa función también tiene

$\sin(\arcsin(1-x))=\sin(\frac{\pi}{2}-2\arcsin(x))$,

como esta CARTA es igual a la que usted desea. Nota el cambio de signo en el lado derecho.

A continuación, $x=\frac{1}{2}$ satisface

$\arcsin(1-x)+2\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$.

Answer 4

Ninguno de su implicación pasos están mal

Vamos a revisar el concepto de implicación. En matemáticas, una implicación es representado por el símbolo $\implies$ y cuando escribimos $A \implies B$, significa precisamente que si a es cierto, entonces B es cierto.

Aquí está una cita de su segunda implicación:

$$\arcsin(1-x) = \frac{\pi}{2} + 2\arcsin (x) \implies \sin (\arcsin (1-x)) = \sin \left( \frac {\pi}{2} + 2\arcsin (x)\right)$$

Esto es perfectamente correcto, ya que la forma de que la declaración es $A = B \implies \sin(A) = \sin(B)$, y es evidente que si A = B, que son la misma cosa, y de su seno también será igual.

Bien, entonces ¿dónde está mi error? Seguramente hay un error en alguna parte

Vamos a resumir lo que he probado:

$$\arcsin (1-x) - 2\arcsin (x) = \frac{\pi}{2} \implies x = 0 \text{ or } x = \dfrac{1}{2}$$

Esto es correcto! (tenga paciencia conmigo, voy a llegar).

Asumir mi coche es azul. Entonces me digo a usted la siguiente frase: "Mi coche es azul o mi coche es rojo". La frase es correcta!

Ver lo que está pasando aquí?

Cuando vamos a resolver ecuaciones, debemos ser el uso de "equivalencia", no "implicación" de los pasos, porque queremos encontrar todos los valores de $x$ que satisfacen la ecuación, ni más ni menos.

Me parece esclarecedor mirar de esta manera, debido a que no pierde el beneficio de matemáticas formal de la OMI hace mucho más fácil encontrar los errores. Mediante la comprensión de cómo las implicaciones del trabajo, es claro que no hay ningún error en la secuencia de las implicaciones que ha creado.

Por supuesto, las otras respuestas son correctas, pero me gustaría ofrecer este formales insight porque me parece muy útil.

Si se reemplaza la implicación de los símbolos ($\implies$) en su intento por equivalencia símbolos ($\iff$), vas a tener un error en el segundo paso, por las razones que otras personas ya mencionadas.