Esta no es una respuesta completa, pero señala algunos de la estructura.
Supongo que $\Omega$ es convexo regular y suficiente.
Deje que nos indican
$$
F(\Omega)
=
\int_{x\in\Omega}\int_{y\in\Omega}|x-y|\,dy\,dx.
$$
En el lado convexo, se minimiza $F$.
Deje $\ell(x,v)$ el valor de la distancia de $x\in\Omega$ $\partial\Omega$en la dirección $v\in S^1$.
Utilizamos la convención que si $x\in\partial\Omega$ $v$ puntos hacia el interior, a continuación,$\ell(x,v)>0$.
Más analíticamente, podemos definir a la $\ell(x,v)=\sup\{t\geq0;x+tv\in\Omega\}$.
El interior de la integral de la definición de $F(\Omega)$ se puede escribir en coordenadas polares.
La radial integral es fácil de calcular, y nos encontramos con
$$
F(\Omega)
=
\frac13\int_{x\in\Omega}\int_{v\S^1}\ell(x,v)^3\dv\,dx.
$$
Esta es una integral sobre el anillo bundle $S\Omega=\Omega\times S^1$ (también llamado esfera de paquete — $S^1$ es sólo la 1D de la esfera).
Uno puede cambiar la integración de la esfera paquete de una integral sobre todas las líneas y el espacio de las líneas con el llamado Santaló de la fórmula (véase, por ejemplo, la proposición 8.2 en estos apuntes para una prueba en $\mathbb R^2$).
Esto lleva a
$$
F(\Omega)
=
\frac1{3}
\int_{x\in\partial\Omega}
\int_{v\S^1}
|\langle v,\nu_x\rangle|
\int_0^{\ell(x,v)}\ell(x+tv,v)^3
\,dt\dv\,dx.
$$
Aquí $\nu_x$ es la unidad normal a $x$.
La más interna integral es de nuevo una explícita 1D integral, y obtenemos
$$
F(\Omega)
=
\frac1{12}
\int_{x\in\partial\Omega}
\int_{v\S^1_{x,a}}
|\langle v,\nu_x\rangle|
\ell(x,v)^4
\dv\,dx.
$$
Por otro lado, el área de $\Omega$ es
$$
|\Omega|
=
\frac1{2\pi}
\int_{x\in\partial\Omega}
\int_{v\S^1_{x,a}}
|\langle v,\nu_x\rangle|
\ell(x,v)
\dv\,dx.
$$
Véase el ejercicio 96 en las notas vinculadas.
Aquí $S^1_{x,in}$ es el conjunto de $v\in S^1$ que apuntan hacia el interior de $\Omega$$x\in\partial\Omega$.
Si $\partial_{in}S\Omega$ denota el interior señalando el límite de la esfera de paquete (todo límite es $\partial S\Omega=\partial\Omega\times S^1$) y se denota por a $\sigma$ la medida correspondiente a la $|\langle v,\nu_x\rangle|\,dv\,dx$, tenemos
$$
F(\Omega)
=
\frac1{12}
\int_{\partial_{S}\Omega}\ell(x,v)^4\,d\sigma(x,v)
$$
y
$$
|\Omega|
=
\frac1{2\pi}
\int_{\partial_{S}\Omega}\ell(x,v)\,d\sigma(x,v).
$$
Esto pone a $F(\Omega)$ $|\Omega|$ en una muy similar forma ordenada.
La sospecha de extremal caso es un disco de algún radio de $R>0$.
En este caso, $\ell(x,v)=2R|\langle v,\nu_x\rangle|$ al $v$ puntos hacia adentro.
Por lo tanto, podría ser conveniente el uso de la medida $\tilde\sigma$ correspondiente a $dv\,dx$ lugar.
Nos deja denotar $u(x,v)=|\langle v,\nu_x\rangle|$ por razones de brevedad.
Permítanme indicar la longitud del perímetro $P=|\partial\Omega|$ y el diámetro de $\Omega$$D$.
Denotando $L^p=L^p(\partial_{in}S\Omega,\tilde\sigma)$, tenemos (para cualquier $\alpha\geq0$$p\geq1$)
$$
\begin{split}
F(\Omega)&=\frac1{12}\|\ell^4u\|_{L^1},\\
|\Omega|&=\frac1{2\pi}\|\ell u\|_{L^1},\\
P&=\frac1\pi\|1\|_{L^p},\\
D&=\|\ell u^\alpha\|_{L^\infty}.
\end{split}
$$
Estas con la desigualdad isoperimétrico $4\pi A\leq P^2$ y el isodiamétricos desigualdad $4A\leq\pi D^2$ Hölder y la desigualdad dar algo para jugar.
Para dar algo afilado, uno tiene que aplicar Hölder la desigualdad en los que se da la igualdad cuando la $\ell$ es una constante en varios de $u$.
