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Encontrar el último dígito de los números levantado a las grandes potencias

Esta pregunta vino en un mercado competitivo examen tomé recientemente.

El último dígito de la LCM de $3^{2003} - 1$ $3^{2003} + 1$ es

¿hay alguna estrategia mediante la cual podemos determinar rápidamente la respuesta? Yo estoy esperando que existe, ya que la pregunta vino en un tiempo competitivo de la prueba.

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penartur Puntos 1186

El MCD de a $x$ $y$ divide $x-y$, por lo tanto el MCD $3^{2003}-1$ $3^{2003}+1$ es $1$ o $2$; es fácil comprobar que ambos números son aún, por lo que este MCD de estos es de 2.

El MCM de a $x$ $y$ multiplicado por el MCD de a $x$ $y$ es igual a $x \times y$. Así que la LCM en cuestión es igual a $\frac{(3^{2003}-1) \times (3^{2003}+1)}{2} = \frac{3^{4006}-1}{2}$.

$3^n \mod 20$ nos da la siguiente secuencia: $1, 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, \cdots$; por lo tanto $3^{4006} \mod 20 = 3^2 \mod 20 = 9$, y la respuesta es $\frac{9-1}{2} = 4$.

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David HAust Puntos 2696

Sugerencia $\ $ Su mcd es $2$ ya que por extraño $\rm\:k,\ (k\!+\!1,k\!-\!1) = (k\!+\!1,2)=2.\:$, por Lo que su lcm = producto$/2$. La determinación del producto$/2$ mod $10$ requiere de la determinación de los productos de mod $20.\,$ Pero mod $20$ tenemos $\rm(3^n\!-\!1)(3^n\!+\!1) = 9^n\!-\!1 = 0,8,0,8\ldots$ $\,9^2\! = 81\equiv 1.\,$ $\rm\,9^{2003}\!-1 = \color{#C00}{8+20\,k},\,$ por lo tanto

$$\rm \frac{(3^{2003}\!-1)(3^{2003}\!+1)}2\, =\, \frac{9^{2003}\!-1}2\, =\ \color{#C00}{4+10\,k}\ \ \ has\ last\ digit = 4$$

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Farkhod Gaziev Puntos 6

gcd($3^{2003}+1\ , 3^{2003}-1$) $$=gcd(3^{2003}+1\ , 2)\ as\ gcd(a,b)=gcd(a,a-b)\ and\ 3^{2003}+1\ -(3^{2003}-1)=2$$ =2 como $3^n-1$ es incluso para cualquier número natural n.

Así,lcm($3^{2003}+1\ , 3^{2003}-1$)= ($3^{2003}+1)(3^{2003}-1$)/mcd($3^{2003}+1,\ 3^{2003}-1$)=($3^{4006}-1)/2$

Ahora, el uso de Euler Totient Teorema, $a^\phi(m)≡1(mod\ m)$ donde (a,m)=1

Por eso, $a^{k\phi(m)+h}≡a^h(mod\ m)$

Aquí (3,10)=(3,100)=1

Ahora, $\phi(10)=phi(2)phi(5)=1*4=4\ and\ \phi(100)=10phi(10)=40$

4006≡6(mod 40)≡2(mod 4)

$3^{4006}≡3^6(mod\ 100)≡3^2(mod\ 10)$

Por eso, $lcm(3^{2003}+1\ , 3^{2003}-1)≡(3^6-1)/2(mod\ 100)≡(3^2-1)/2(mod\ 10)≡14(mod\ 100)≡4(mod\ 10)$

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mhost Puntos 389

Por el algoritmo de euclides(http://en.wikipedia.org/wiki/Euclidean_algorithm), $\gcd (a,b)=\gcd (a,a-b)$. Aquí, $\gcd(3^{2003}+1,3^{2003}-1)=\gcd(3^{2003}+1,2)=2$ (desde $3^{2003}+1$ es un entero par).LCM=$ab/\gcd= \frac{3^{4006}-1}{2}.$ Ahora $ 3^4=1\pmod{20} \implies (3^4)^{1001}.9=-11\pmod {20}\implies {3^{4006}-1}=-12\pmod{20}=8\pmod{20} \implies $ $\frac{3^{4006}-1}{2}=8/2=4$ es el último dígito.

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