Dada una secuencia $( x_i )_i$ de los números reales, la convergencia a la $0$$t \in \mathbb{R}$, es posible encontrar enteros $z_i$ tal que $\lim_{i \to \infty} z_i x_i = t$?
Respuesta
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Si un infinito número de la $x_i$$0$, entonces es imposible como afirma Paul Sinclair. Así que asumimos que hay sólo un número finito es así, ya que sólo estamos interesados en el comportamiento en el infinito, podemos muy bien suponer para la conveniencia de que ninguno de ellos es $0$.
Definir $z_i = \left\lfloor \frac{t}{x_i}\right\rfloor \in \mathbb{Z}$. A partir de la definición de la función del suelo, tenemos
$$\left| z_i - \frac{t}{x_i} \right| < 1$$
Multiplicando por $|x_i|$, obtenemos
$$|z_i x_i - t| < |x_i| \underset{i \to \infty}{\longrightarrow} 0$$
y llegamos a la conclusión de que $x_i z_i$ converge a $t$ en el infinito. Este es sólo un ejemplo de la posible secuencia $(z_i)_{i \ge 0}$. Cualquier secuencia de números enteros que están lo suficientemente cerca de a $\frac{t}{x_i}$ (por ejemplo, usted puede reemplazar la función del suelo con el techo de la función).
