Límite que involucran funciones exponenciales

Question

Estoy tratando de averiguar por qué esto es cierto:

$$ \lim_{p \to 0}\frac{1}{2p}\left((1+p)e^{-\frac{y}{1+p}} - (1-p)e^{-\frac{y}{1-p}}\right) = e^{-y} + ye^{-y}$$

Ya he probado de L'Hospital de la Regla, pero me dio algo que yo no podía simplificar. El problema parece ser la $\frac{1}{2p}$ plazo nunca parece desaparecer. Sé que la función exponencial se puede representar como: $e^x = \lim_{n\to\infty} (1+\frac{x}{n})^n$, pero no parece inmediatamente obvio cómo se aplica en esta situación.

Gracias.

Answer 1

SUGERENCIA $\ $ tiene forma $\displaystyle\rm\ \lim_{x\to 0}\ \frac{f(x)-f(-x)}{x - (-x)}\:.\ $ Refieren que a un derivado.

Tenga en cuenta que esta solución reconociendo el límite como un derivado emplea sólo el conocimiento de la definición de la derivada y la base de reglas para el cálculo de derivadas de polinomios y de los poderes. Sí no requieren el conocimiento de las técnicas más avanzadas, tales como la potencia de la serie o series de Taylor, la regla de l'Hôpital, la media-teorema del valor, etc. Como me comentan a menudo aquí, los límites de los ejercicios son a menudo de esta forma (por ejemplo, véase esta en la pregunta anterior o este o este o este o este) así que vale la pena estar familiarizado con esta técnica, que, cuando se aplica a menudo es mucho más simple que las alternativas.

Answer 2

Sugerencia: Escribir el numerador de la fracción en el límite de

$$ p \left( e^{- \frac{y}{1+p}} + e^{- \frac{y}{1-p}} \right) + e^{- \frac{y}{1+p}} - e^{- \frac{y}{1-p}} $$

debe ayudar.

Answer 3

Aquí es un método que no depende de reconocer la expresión como un derivado, y permite el uso de la regla de L'Hôpital; escribo $\exp(x)$ $e^x$ para mayor claridad:

Usted puede escribir $\displaystyle \exp\left(-\frac{y}{1+p}\right)-\exp\left(-\frac{y}{1-p}\right)$ $$\exp\left(-\frac{y}{1-p^2}\right)[\exp\left(\frac{yp}{1-p^2}\right)-\exp\left(-\frac{yp}{1-p^2}\right)].$$

Ahora tenga en cuenta que $\displaystyle \frac{(1+p)\exp\left(-\frac{y}{1+p}\right)-(1-p)\exp\left(-\frac{y}{1-p}\right)}{2p}=$ $$\frac{\exp\left(-\frac{y}{1+p}\right)-\exp\left(-\frac{y}{1-p}\right)}{2p}+\frac12(\exp\left(-\frac{y}{1+p}\right)+\exp\left(-\frac{y}{1-p}\right)).$$

El segundo término de esta suma puede ser evaluado directamente. Para el primero, tenga en cuenta que $\displaystyle e^\alpha-e^{-\alpha}=\frac{e^{2\alpha}-1}{e^\alpha}$. En este caso, $\displaystyle \alpha=\frac{yp}{1-p^2}$, por lo que el problema se reduce a encontrar $$ \lim_{p\to 0}\frac{e^{\frac{2yp}{1-p^2}}-1}{2p},$$ como todos los otros términos y condiciones pueden ser evaluados directamente. Pero este término puede ahora ser evaluada sin dificultades en el uso de la regla de L'Hôpital.

Answer 4

De hecho no recomiendo siempre tratando de L'Hospital de la regla en cada límite que usted venir a través, ya que a menudo se produce un error y rara vez se da una visión intuitiva en el límite de sí mismo. Aquí es un método alternativo que, básicamente, se obtiene un asintótica de expansión, inmediatamente limitar el comportamiento aparente.

Como $p \to 0$:

$\frac{1}{2p}\left((1+p)e^{-\frac{y}{1+p}} - (1-p)e^{-\frac{y}{1-p}}\right)$

$ \in \frac{1}{2p}\left((1+p)e^{-y(1-p+Θ(p^2))} - (1-p)e^{-y(1+p+Θ(p^2))}\right)$

$ ⊆ \frac{1}{2p}\left((1+p)e^{-y}e^{yp+Θ(p^2)} - (1-p)e^{-y}e^{-yp+Θ(p^2)}\right)$

$ ⊆ e^{-y}\frac{1}{2p}\left((1+p)(1+yp+Θ(p^2)) - (1-p)(1-yp+Θ(p^2))\right)$

$ ⊆ e^{-y}\frac{1}{2p}\left((1+(y+1)p+Θ(p^2)) - (1-(y+1)p+Θ(p^2))\right)$

$ ⊆ e^{-y}\frac{1}{2p}\left(2(y+1)p+Θ(p^2)\right)$

$ ⊆ e^{-y}(y+1)+Θ(p)$