Cómo encontrar a $f(x)$ si $df(x)/dx=f(x)$

Question

Cómo encontrar a $f(x)$ si $\frac{df(x)}{dx}=f(x)$? Sé $c e^x$ es una solución, pero, ¿cómo encontrar y como para demostrar que es la mejor solución?

Answer 1

Suponga $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y la ecuación de si es válido para todos los $x \in \mathbb{R}$.

Tratando de dividir a por $f$ o tratando de hablar en términos de $\log f$ necesita más justificación (lo si $f$ es cero en algún intervalo?) y tiene el potencial de perder algunas de las soluciones (aunque estoy bastante seguro de que habrá algo de teoría hay que justificar la exactitud del método).

Una manera más sencilla, lo que evita tomar casos:

$$f'(x) = f(x) \iff e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = 0 \iff (e^{-x} f(x))' = 0$$

$$e^{-x} f(x) = c$$

Answer 2

Para encontrar esto, usted puede usar la separación de variables. Si usted está acostumbrado a reconocer que las $\frac{f'}{f}=\log(|f|)'$, se puede integrar directamente como Chandru1 señaló. De lo contrario, puede utilizar la sustitución de $u=f$.

Incluso sin saber cuáles son las soluciones, tenga en cuenta que si $f$ $g$ son soluciones de y $g$ es distinto de cero, entonces a $\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}=0$, lo $\frac{f}{g}$ es constante, lo que significa que $f=cg$ para algunas constantes $c$. Esto muestra que los múltiplos de un valor distinto de cero solución formulario de la solución completa. En general, un primer orden lineal homogénea la educación a distancia tiene una dimensiones de espacio de solución.