Borel funciones y su equivalencia de conjuntos.

Question

Deje $(\Omega,\mathcal{F})$ ser un espacio medible. Los siguientes son equivalentes:

1. $\ X:\Omega \to \mathbb{R} $ es un Borel función.

2. $\{\omega\in\Omega:X(\omega)>a\}\in\mathcal{F}$ todos los $a\in\mathbb{R}$.

3. $\{\omega\in\Omega:X(\omega)< a\}\in\mathcal{F}$ todos los $a\in\mathbb{R}$.

4. $\{\omega\in\Omega:X(\omega) \in B\}\in\mathcal{F}$ para abrir todos los subconjuntos de a $B\subset\mathbb{R}$.

5. $\{\omega\in\Omega:X(\omega) \in B\}\in\mathcal{F}$ para todos los subconjuntos cerrados $B\subset\mathbb{R}$.

Cómo en la tierra que probar esto? No tengo idea de por donde empezar. Cualquier ayuda sería muy apreciada. Gracias

Answer 1

1) $\Rightarrow$ 2) es claro desde $(a;+\infty)$ es un conjunto de Borel.

2) $\Rightarrow$ 3) debido a $\{\omega, X(\Omega)<a\}=\bigcup_{n\geq 1}\{\omega\in\Omega, X(\omega)\leq a-1/n\}$ y cada conjunto de la unión es de la forma de los conjuntos involucrados en la 2), después de tomar un complemento.

3)$\Rightarrow$ 4) puede ser mostrado como los siguientes: en primer lugar demostrar que funciona al $B$ es un intervalo, entonces utilice el hecho de que un subconjunto abierto de la recta real puede ser escrito como una contables de la unión de intervalos abiertos.

4)$\Rightarrow$ 5) el uso de complemento.

5)$\Rightarrow$ 1) Deje $\mathcal A:=\{A\subset R, X^{-1}(A)\mbox{ is a Borel set}\}$. Mostrar que $\mathcal A$ $\sigma$- álgebra.