Deje X ser un espacio vectorial sobre el campo K de los bienes o de los números complejos. Deje X∗ denota el espacio vectorial de todos los funcionales lineales definidos en X, y deje X∗∗ denota el espacio vectorial de todos los funcionales lineales definidos en X∗.
Deje x∈X ser fijo, y deje gx:X∗→X∗∗ se define como gx(f):=f(x)∀f∈X∗. A continuación, gx es un funcional lineal en X∗, de modo que gx∈X∗∗.
A continuación, la asignación de C:X→X∗∗ definido por Cx:=gx∀x∈X es lineal.
Pero Kryszeg estados que este mapa C también es inyectiva. Cómo mostrar esto?
Mi trabajo:
Supongamos que, para algunos x, y∈X, tenemos la igualdad Cx=Cy. Entonces gx=gy. Así que, para todos los f∈X∗, tenemos gx(f)=gy(f). Esto implica que f(x)=f(y) x−y∈N(f) para todos los funcionales lineales f definido en X donde N(f) denota el espacio nulo de a f.
¿Qué es lo siguiente? Cómo mostrar que x=y, especialmente en el caso de X no es finito-dimensional?