Kreyszig del Análisis Funcional de la Sección 2.8: ¿Cómo es la canónica de la incrustación de mapa inyectiva?

Question

Deje $X$ ser un espacio vectorial sobre el campo $K$ de los bienes o de los números complejos. Deje $X^*$ denota el espacio vectorial de todos los funcionales lineales definidos en $X$, y deje $X^{**}$ denota el espacio vectorial de todos los funcionales lineales definidos en $X^*$.

Deje $x \in X$ ser fijo, y deje $g_x \colon X^* \to X^{**}$ se define como $$g_x(f) \colon= f(x) \; \; \; \forall f \in X^*.$$ A continuación, $g_x$ es un funcional lineal en $X^*$, de modo que $g_x \in X^{**}$.

A continuación, la asignación de $C \colon X \to X^{**}$ definido por $$Cx \colon= g_x \; \; \; \forall x \in X$$ es lineal.

Pero Kryszeg estados que este mapa $C$ también es inyectiva. Cómo mostrar esto?

Mi trabajo:

Supongamos que, para algunos $x$, $y \in X$, tenemos la igualdad $$Cx = Cy.$$ Entonces $$g_x = g_y.$$ Así que, para todos los $f \in X^*$, tenemos $$g_x(f) = g_y(f).$$ Esto implica que $f(x) = f(y)$ $x-y \in N(f)$ para todos los funcionales lineales $f$ definido en $X$ donde $N(f)$ denota el espacio nulo de a $f$.

¿Qué es lo siguiente? Cómo mostrar que $x = y$, especialmente en el caso de $X$ no es finito-dimensional?

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con el análisis funcional.

Si $v\neq 0$ no siempre existe un funcional $f:X\to K$ tal que $f (v)\neq 0$: completa $v$ a una $\mathcal{B}$ $X$ (como espacio vectorial) y definir $f$ al declarar que las $f (v):=1$ y, para cualquier $w\in \mathcal{B}\setminus\{v\}$, $f(w):=0$.

La elección, en particular, $v:=x-y$ esto demuestra que $v=0$, es decir,$x=y$.

Answer 2

Suponga que $X$ tiene dimensión infinita y deje $x\in X\setminus \{0\}$ ; deje $E=(e_i)_i$ ser una base de $X$ que contiene $x$. Un elemento de $X$ es una función de $E\rightarrow K$ que es cero en casi todas partes. Cada función de $E\rightarrow K$ da a luz (linealidad) a un elemento de $X^*$ e lo contrario es cierto. En particular, no es $f\in X^*$ s.t. $f(x)=1$. Por lo tanto $g_x\not= 0$ y hemos terminado. Tenga en cuenta que $\dim(X)<\dim(X^*)<\dim(X^{**})$, y, en consecuencia, $C$ no es nunca un bijection.

EDIT. Respuesta a Saaqib. Al $X$ tiene dimensión infinita, $\dim(X)$ es un número cardinal (la cardinalidad de a $E$) y no un entero. A continuación, $\dim(X)<\dim(X^*)$ fib no hay surjective función de $X\rightarrow X^*$. Hay una bonita prueba en MO

http://mathoverflow.net/questions/13322/slick-proof-a-vector-space-has-the-same-dimension-as-its-dual-if-and-only-if-i