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Kreyszig del Análisis Funcional de la Sección 2.8: ¿Cómo es la canónica de la incrustación de mapa inyectiva?

Deje X ser un espacio vectorial sobre el campo K de los bienes o de los números complejos. Deje X denota el espacio vectorial de todos los funcionales lineales definidos en X, y deje X denota el espacio vectorial de todos los funcionales lineales definidos en X.

Deje xX ser fijo, y deje gx:XX se define como gx(f):=f(x)fX. A continuación, gx es un funcional lineal en X, de modo que gxX.

A continuación, la asignación de C:XX definido por Cx:=gxxX es lineal.

Pero Kryszeg estados que este mapa C también es inyectiva. Cómo mostrar esto?

Mi trabajo:

Supongamos que, para algunos x, yX, tenemos la igualdad Cx=Cy. Entonces gx=gy. Así que, para todos los fX, tenemos gx(f)=gy(f). Esto implica que f(x)=f(y) xyN(f) para todos los funcionales lineales f definido en X donde N(f) denota el espacio nulo de a f.

¿Qué es lo siguiente? Cómo mostrar que x=y, especialmente en el caso de X no es finito-dimensional?

5voto

Luke Puntos 41

Esto no tiene nada que ver con el análisis funcional.

Si v0 no siempre existe un funcional f:XK tal que f(v)0: completa v a una B X (como espacio vectorial) y definir f al declarar que las f(v):=1 y, para cualquier wB{v}, f(w):=0.

La elección, en particular, v:=xy esto demuestra que v=0, es decir,x=y.

2voto

Spencer Puntos 48

Suponga que X tiene dimensión infinita y deje xX{0} ; deje E=(ei)i ser una base de X que contiene x. Un elemento de X es una función de EK que es cero en casi todas partes. Cada función de EK da a luz (linealidad) a un elemento de X e lo contrario es cierto. En particular, no es fX s.t. f(x)=1. Por lo tanto gx0 y hemos terminado. Tenga en cuenta que dim(X)<dim(X)<dim(X), y, en consecuencia, C no es nunca un bijection.

EDIT. Respuesta a Saaqib. Al X tiene dimensión infinita, dim(X) es un número cardinal (la cardinalidad de a E) y no un entero. A continuación, dim(X)<dim(X) fib no hay surjective función de XX. Hay una bonita prueba en MO

http://mathoverflow.net/questions/13322/slick-proof-a-vector-space-has-the-same-dimension-as-its-dual-if-and-only-if-i

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