La evaluación de una integral de superficie de un paraboloide

Question

Calcule el valor promedio de $(1+4z)^{3}$ sobre la superficie del paraboloide $z=x^{2}+y^{2}$,$x^{2}+y^{2} \leq 1$

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No estoy seguro de cómo empezar este problema. Ya he encontrado la zona de el paraboloide que es:

$A = \displaystyle\frac{\pi(5\sqrt{5}-1)}{6}$

Sin embargo, cuando ahora se ocupan de la superficie de la integral, no estoy seguro de cómo empezar como yo que $(1+4z)^{3}$ plazo. Normalmente, la forma de llevar a cabo la integración sería lo han estado haciendo en la proyección de la región en el plano xy y luego se transforma a coordenadas polares, pero como tengo un $z$ plazo, yo no estoy seguro sobre qué hacer (no se especifica si se $f(x,y)$ o algo parecido). Me fue tan bien, considerando que la parametrización un paraboloide con coordenadas cilíndricas, pero en este caso el rango de los límites son de$0 \leq \theta \leq 2\pi$$0 \leq r \leq 1$. ¿Qué debo hacer en este caso?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Las coordenadas cilíndricas mirada buena, ya que $z = x^2 + y^2 = r^2$. La integral se parece a $$ \iint_S \left( 1 + 4z \right)^3 \; dx \; dy = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \left( 1 + 4r^2 \right)^3 r \; dr \; d\theta, $$ la cual puede ser calculada con una sustitución.