la comprensión de la propuesta de distribución secuencial de la importancia de muestreo en R

Question

Desde el artículo de la wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/Particle_filter

Veo que uno generar muestras de la propuesta de $\pi(x_k^{(L)}\vert x_{o:k-1}^{(L)},y_{1:k})$, sin embargo, el papel de la $y_{1:k}$ no está claro para mí.

Supongamos que tenemos las siguientes formas funcionales: $y_t=ax_t+\epsilon_t$ $x_t=bx_{t-1}+\eta_t$

Entonces el sistema de ecuaciones de densidad dada por $p(x_k^{(L)}\vert x_{k-1})$ puede ser implementado en R para una distribución normal, como $rnorm(1,x_k^{(L)}-bx_{k-1}^{(L)},\sigma_2)$. Ahora, si asumimos así como una distribución normal para la observación de la ecuación, creo que uno podría simular a partir de la propuesta como $rnorm(1,y_k-ax_k^{(L)},\sigma_1)$ pero no estoy seguro de si mi interpretación es correcta o no. Además, me parece que tendríamos que generar muestras de la propuesta en primer lugar, para calcular la densidad de $p(x_k^{(L)}\vert x_{k-1})$.

Agradecería cualquier sugerencia que usted puede dar.

Answer 1

Para este problema, usted debe tener en cuenta toda la información disponible, lo que significa que el pleno de la distribución condicional de $x_k$ ($(L)$ índice no es necesario para las distribuciones) determinado $x_{0:(k-1)}$ e da $y_{1:k}$, lo que simplifica en la distribución condicional de $x_k$ $x_{k-1}$ e da $y_{k}$ en el ruidoso modelo de AR de considerar aquí. Por lo tanto, \begin{align*}p(x_k|x_{0:(k-1)},y_{1:k})&=p(x_k|x_{k-1},y_{k})\\ &\propto p(x_k|x_{k-1})\times p(y_k|x_k)\\ &=\varphi(\{x_k-bx_{k-1}\}\sigma_1^{-1})\times\varphi(\{y_k-ax_{k}\}\sigma_2^{-1})\\ &\propto \varphi(\{x_k-[\sigma_1^{-2}bx_{k-1}+\sigma_2^{-2}ay_{k}]/[\sigma_1^{-2}+\sigma_2^{-2}]^{-1}\}\times[\sigma_1^{-2}+\sigma_2^{-2}]^{1/2})\end{align*}