Deje $A$ ser un conjunto infinito de números enteros positivos. Para cualquiera de los dos $a,b\in A$, $a\neq b$, al menos uno de los números de $a^b+2$ $a^b-2$ también están en $A$. Debe $A$ contienen un número compuesto?
Respuesta
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La respuesta es sí.
Tomar cuatro números impares $a<b<c<d$ desde el set, todos mayores de $3$, de tal manera que $c=b^a\pm2$$d=c^b\pm2$.
Caso 1: $c=b^a\pm2$ $d=c^b\pm2$ (con signos de igualdad).
A continuación,$c=b^a\pm2\equiv b\pm2 \pmod3$$d=c^b\pm2\equiv c\pm2 \pmod3$. Uno de $b,c,d$ es divisible por $3$.
Caso 2: $c=b^a\pm2$ $d=c^b\mp2$ (con signo contrario). Si $b$ es un excelente entonces, por el teorema de Fermat, $$ d = c^b \mp2 \equiv c\mp2 = b^a \equiv 0 \pmod{b} $$ por lo $d$ es divisible por $b$. (Obviamente $d$ es mayor que $b$.)
