¿Cuál es el conjunto de $\text{Span}(\sin(x),\cos(x))\cap \mathbb{R}$?

Question

Encontrar $\text{Span}(\sin(x),\cos(x))\cap \mathbb{R}.$

Sé que $\text{Span}(\sin x,\cos x)=\{a\sin x+b\cos x:a,b\in \mathbb{R}\}.$ $a\sin x+b\cos x$ es un número real y por lo $\text{Span}(\sin x,\cos x)\subset \mathbb{R}.$ Así tenemos que $\text{Span}(\sin(x),\cos(x))\cap \mathbb{R}=\text{Span}(\sin x,\cos x).$, Pero el libro dice que el $$\text{Span}(\sin(x),\cos(x))\cap \mathbb{R}=\{0\}.$ $ ¿por Qué?

Answer 1

Supongamos $a\sin x+b\cos x$ es una constante $c$. Conectar $x=0,\pi$ obtenemos, respectivamente,$a\cdot 0+b\cdot 1=c$$a\cdot 0+b\cdot(-1)=c$, es decir,$b=c=-b$. A partir de ahí se desprende que el $c=0$, lo $0$ es la única constante en $\mathrm{Span}(\sin x,\cos x)$.

Answer 2

Porque si no, a continuación, $a\sin(x)+b\cos(x)=c\ne0$ todos los $x$ que es absurde. Por otro lado, si $f(x)=\sin(x)$ $g(x)=\cos(x)$ $f$ $g$ son linealmente independientes de las funciones de lo $af+bg=0$ implkies $a=b=0$.Por lo tanto, la conclusión de su libro.