¿Cómo las respuestas a los problemas de combinatoria cambio si en lugar de 4 objetos diferentes, tenemos 4 idénticos?

Question

Creo que hice la primera parte de estas correctamente, pero la verdad, no sé acerca de la última parte? Podría acabo de dividir todos mis respuestas anteriores por $4!$

Si usted tiene $4$ de niños $8$ fruta única, y $8$ idénticos barras de caramelo.

1: ¿de cuántas maneras distintas puede $8$ fruta de ser distribuido entre los $4$ niños. No hay restricciones. (es esta $4$^8)

2: ¿de cuántas maneras distintas se puede distribuir la fruta si usted tiene que dar, al menos, $1$ a cada niño. (Es este $4$!{$8$C$4$})

3: ¿de cuántas maneras distintas puede dar dulces a los niños. no hay restricciones. (Es este (($8$+$4$-$1$)C($4$-$1$))

4: ¿de cuántas maneras distintas se puede dar las barras de caramelo si cada niño tiene que conseguir $1$. (dar a cada niño $1$ barra, y hacer lo mismo en el problema 3?)

Cómo sería 1 - 4 cambio si los niños fueron reemplazados por $4$ idénticos tazones?

Answer 1

La parte 2 es el disco duro, es una inclusión-exclusión problema. De la parte 1,no se $4^8$ formas de repartir las barras de caramelo. Ahora se excluyen las formas en que algunos de los niños no conseguir uno. Hay ${4 \choose 1}3^8$ manera de dar a todos los bares a los tres niños, así que restar esos. Ahora si que nos dio a todos ellos para dos niños hemos restado dos veces, así que lo agregue de nuevo en. Que es ${4 \choose 2}2^8$. Si se les dio todos a uno de los niños, que eran tenidos por una vez en la primera tanda, restan tres veces en el segundo, se han agregado tres veces en el tercero, así que estamos bien. La respuesta Final es $4^8-4\cdot 3^8+6\cdot 2^8$

Answer 2

2:

Este resultado tiene una generación de la función de

$(x+x^2/2!+x^3/3!+...)^4$

La respuesta es la misma como $8!$ multiplicado por el coeficiente de $x^8$ en la expresión anterior.

3:

Poner las barras de caramelo en una línea, y dividir con 3 palos. Sin embargo, los palos pueden permanecer uno al lado del otro. Por lo tanto este es el mismo como la organización de 8 caramelos y 3 palos

Respuesta = $(8+3)!/(8!3!)$

4:

Esto es simplemente una especialización de 2, con 1 en lugar de $8!$

Respuesta = $\binom 7 3$