Problema de conexión y cruce

Question

Deje $X$ ser un espacio métrico compacto, y deje $K_1,K_2,\dots$ ser una secuencia de subconjuntos de a$X$, que es no vacío, cerrado y conectado, y que satisfacen $K_{n+1}\subset K_n$ para cada entero positivo $n$. Demostrar que la intersección de a $K_n$ $n$ $1$ hasta el infinito está conectado.

Así, este fue claramente marcado como uno de los problemas más difíciles en la revisión de las hojas, pero si alguien pudiera ofrecer cualquier sugerencia o idea de por dónde empezar realmente lo apreciaría.

Answer 1

Vamos a la intersección ser $K$. Si $K$ se desconecta, entonces existen abiertos disjuntos conjuntos de $O,Q$ tal que $O\cap K \neq \emptyset, Q\cap K \neq \emptyset$$K\subset O\cup Q$. Desde cada una de las $K_n$ está conectado, no existe $x_n\in K_n$ tal que $x_n\notin O\cup Q$ (de lo contrario $K_n\subset O\cup Q$, imposible por unidad). Por la compacidad de $X$, $x_n, n=1,2,\cdots$ tiene un clúster de punto de $x$. Desde el complemento de $O\cup Q$ es cerrado, $x\notin O\cup Q$. Pero $x\in \bigcap K_n=K$, una contradicción.